题目内容
【题目】已知函数,其中
.
(1)若在
上存在极值点,求
的取值范围;
(2)设,
,若
存在最大值,记为
,则当
时,
是否存在最大值?若存在,求出其最大值;若不存在,请说明理由.
【答案】(1);(2)存在,且
存在最大值为
.
【解析】试题分析:
(1)函数存在极值点,将问题转化为导函数有根,且不为重根,据此分离系数,结合对勾函数的性质和函数的定义域求解实数 的取值范围即可;
(2)分类讨论,当 时,
不存在最大值,
当 时,由根与系数的关系求得
的解析式,结合
的式子构造新函数
,利用新函数的性质结合题意即可求得
的最大值.
解:
(1),
.
由题意,得,在
上有根(不为重根).
即在
上有解.
由在
上单调递增,得
.
检验:当时,
在
上存在极值点.
∴.
(2)若,∵
在
上满足
,
∴在
上单调递减,∴
.
∴不存在最大值.
则.
∴方程有两个不相等的正实数根,令其为
,且不妨设
则.
在
上单调递减,在
上调递增,在
上单调递减,
对,有
;对
,有
,
∴.
∴
.
将,
代入上式,消去
得
∵,∴
,
.
据在
上单调递增,得
.
设,
.
,
.
∴,即
在
上单调递增.
∴
∴存在最大值为
.
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练习册系列答案
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【题目】某市春节期间7家超市的广告费支出(万元)和销售额
(万元)数据如下:
超市 | A | B | C | D | E | F | G |
广告费支出 | 1 | 2 | 4 | 6 | 11 | 13 | 19 |
销售额 | 19 | 32 | 40 | 44 | 52 | 53 | 54 |
(1)若用线性回归模型拟合与
的关系,求
关于
的线性回归方程;
(2)用二次函数回归模型拟合与
的关系,可得回归方程:
,
经计算二次函数回归模型和线性回归模型的分别约为
和
,请用
说明选择哪个回归模型更合适,并用此模型预测
超市广告费支出为3万元时的销售额.
参数数据及公式:,
,
.