题目内容

设a∈R,函数f(x)=(x2-ax-a)ex
(Ⅰ)若a=1,求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;
(Ⅱ)求函数f(x)在[-2,2]上的最小值.
(Ⅰ)f'(x)=(2x-a)ex+(x2-ax-a)ex=(x+2)(x-a)ex
当a=1时,f'(0)=-2,f(0)=-1,
所以曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y-(-1)=-2x,
即2x+y+1=0.
(Ⅱ)令f'(x)=0,解得x=-2或x=a.
①a≥2,则当x∈(-2,2)时,f'(x)<0,函数f(x)在(-2,2)上单调递减,
所以,当x=2时,函数f(x)取得最小值,最小值为f(2)=(4-3a)e2
②-2<a<2,则当x∈(-2,2)时,
当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:

所以,当x=a时,函数f(x)取得最小值,最小值为f(a)=-a•ea
③a≤-2,则当x∈(-2,2)时,f'(x)>0,函数f(x)在(-2,2)上单调递增,
所以,当x=-2时,函数f(x)取得最小值,最小值为f(-2)=(4+a)e-2
综上,当a≤-2时,f(x)的最小值为(4+a)e-2;当-2<a<2时,f(x)的最小值为-a•ea
当a≥2时,f(x)的最小值为(4-3a)e2
练习册系列答案
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