题目内容
已知函数f（x）=-x3+ax2-4，（a∈R）
（Ⅰ）若y=f（x）的图象在点P（1，f（1））处的切线的倾斜角为
，求a；
（Ⅱ）设f（x）的导函数是f′（x），在（Ⅰ）的条件下，若m，n∈[-1，1]，求f（m）+f′（n）的最小值．
（Ⅲ）若存在x0∈（0，+∞），使f（x0）＞0，求a的取值范围．
（Ⅰ）若y=f（x）的图象在点P（1，f（1））处的切线的倾斜角为
| π |
| 4 |
（Ⅱ）设f（x）的导函数是f′（x），在（Ⅰ）的条件下，若m，n∈[-1，1]，求f（m）+f′（n）的最小值．
（Ⅲ）若存在x0∈（0，+∞），使f（x0）＞0，求a的取值范围．
（Ⅰ）∵f'（x）=-3x2+2ax（1分），
由已知f′(x)=tan
=1，即-3+2a=1（2分），
∴a=2（3分）；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=-x3+2x2-4（4分），
f′(x)=-3x2+4x=-3x(x-
)（5分），
x∈[-1，1]时，如下表：
（7分）
可见，n∈[-1，1]时，f′（x）最小值为f′（-1）=-7，
m∈[-1，1]时，f（m）最小值为f（0）=-4，
∴f（m）+f′（n）的最小值为-11（10分）；
（Ⅲ）∵f′(x)=-3x(x-
)，
（1）若a≤0，当x＞0时，f′（x）＜0，
∴f（x）在（0，+∞）单减，
又由f（0）=-4，则x＞0时f（x）＜-4，
∴当x≤0时，不存在x0＞0使f（x0）＞0（11分）；
（2）若a＞0时，
当0＜x＜
时，f′(x)＞0．当x＞
时，f′(x)＜0，
∴f（x）在(0，
]上单增，在[
，+∞)单减；
∴x∈（0，+∞）时，f(x)max=f(
)=
-4（12分），
由已知，必须
-4＞0∴a3＞27，
∴a＞3，
即a＞3时，存在x0∈（0，+∞）使f（x0）＞0．
由已知f′(x)=tan
| π |
| 4 |
∴a=2（3分）；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=-x3+2x2-4（4分），
f′(x)=-3x2+4x=-3x(x-
| 4 |
| 3 |
x∈[-1，1]时，如下表：
（7分）可见，n∈[-1，1]时，f′（x）最小值为f′（-1）=-7，
m∈[-1，1]时，f（m）最小值为f（0）=-4，
∴f（m）+f′（n）的最小值为-11（10分）；
（Ⅲ）∵f′(x)=-3x(x-
| 2a |
| 3 |
（1）若a≤0，当x＞0时，f′（x）＜0，
∴f（x）在（0，+∞）单减，
又由f（0）=-4，则x＞0时f（x）＜-4，
∴当x≤0时，不存在x0＞0使f（x0）＞0（11分）；
（2）若a＞0时，
当0＜x＜
| 2a |
| 3 |
| 2a |
| 3 |
∴f（x）在(0，
| 2a |
| 3 |
| 2a |
| 3 |
∴x∈（0，+∞）时，f(x)max=f(
| 2a |
| 3 |
| 4a3 |
| 27 |
由已知，必须
| 4a3 |
| 27 |
∴a＞3，
即a＞3时，存在x0∈（0，+∞）使f（x0）＞0．
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