题目内容
【题目】设f(x)=(lnx)ln(1﹣x).
(1)求函数y=f(x)的图象在( ,f( ))处的切线方程;
(2)求函数y=f′(x)的零点.
【答案】
(1)解:f′(x)= ,
故f( )=ln2 ,f′( )=0,
故切线方程是:y=ln2
(2)解:由(1)得,令f′(x)=0,即(1﹣x)ln(1﹣x)﹣xlnx=0,
令h(x)=(1﹣x)ln(1﹣x)﹣xlnx,(0<x<1),
则h′(x)=lnx(1﹣x),h″(x)= ,
令h″(x)>0,解得:0<x< ,
令h″(x)<0,解得:x> ,
故h′(x)在(0, )递增,在( ,+∞)递减,
故h′(x)<h′( )=ln <0,
故h(x)在(0,1)递减,
而h( )=0,
故h(x)在(0,1)的零点是x= .
【解析】(1)求出函数的导数,计算f( ),f′( ),求出切线方程即可;(2)令f′(x)=0,即(1﹣x)ln(1﹣x)﹣xlnx=0,令h(x)=(1﹣x)ln(1﹣x)﹣xlnx,(0<x<1),根据函数的单调性求出函数的零点即可.
【考点精析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性的相关知识点,需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系: 在某个区间内,(1)如果,那么函数在这个区间单调递增;(2)如果,那么函数在这个区间单调递减才能正确解答此题.
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