题目内容
【题目】已知数列的前
项和
满足
.
(1)求数列的通项公式;
(2)记,
是数列
的前
项和,若对任意的
,不等式
都成立,求实数
的取值范围;
(3)记,是否存在互不相等的正整数
,
,
,使
,
,
成等差数列,且
,
,
成等比数列?如果存在,求出所有符合条件的
,
,
;如果不存在,请说明理由.
【答案】(1); (2)
; (3)不存在.
【解析】
(1)当时,
,与题目中所给等式相减得:
,即
,又
时,
,解得:
,所以
.
(2)化简得
,由裂项相消得,
,再根据不等式
都成立,化简得:
,求出
的最大值即可.
(3)假设存在互不相等的正整数,
,
满足条件,则有
.证明其成立的条件与
,
,
互不相等矛盾即可.
(1)因为数列的前
项和
满足
,
所以当时,
,
两式相减得:,即
,
又时,
,解得:
,
所以数列是以3为首项,3为公比的等比数列,从而
.
(2)由(1)知:,
所以,
,
对任意的,不等式
都成立,即
,
化简得:,令
,
因为,
故单调递减,
所以,故
,
所以,实数的取值范围是
.
(3)由(1)知:,
假设存在互不相等的正整数,
,
满足条件,
则有.
由与
得
,
即,
因为,所以
.
因为,当且仅当
时等号成立,
这与,
,
互不相等矛盾.
所以不存在互不相等的正整数,
,
满足条件.
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