题目内容
已知函数。
(Ⅰ)若,求函数的单调区间并比较与的大小关系
(Ⅱ)若函数的图象在点处的切线的倾斜角为,对于任意的,函数在区间上总不是单调函数,求的取值范围;
(Ⅲ)求证:。
(I)的单调增区间为;减区间为,.
(II).
(III)证明见解析.
解析试题分析:(I)通过求导数,解得增区间;解得减区间.
驻点处得到最小值,比较得到.
(II)通过确定,.
根据在区间上总不是单调函数,且,
得到,转化成“对于任意的恒成立”
依据,求得的范围.
解答本题的关键是将问题加以转化,应用导数知识予以处理.
(III)利用时,,得到对一切成立.
从而应用对乘积式中的各个因子进行“放缩”,达到证明目的.
∴=.
试题解析:(I)当时.
令,解得;令,解得,
所以,的单调增区间为;减区间为
所以,所以.
(II)∵
∴,得
∴,.
∵在区间上总不是单调函数,且,
∴
由题意知:对于任意的恒成立,
所以有,∴
(III)证明如下:由(1)可知
当时,,即,
∴对一切成立,
∵,则有,∴,
∴=.
故.
考点:1、导数的几何意义;2、应用导数研究函数的单调性;3、证明不等式.
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