Question

甲、乙两大超市同时开业，第一年的全年销售额均为a万元，由于经营方式不同，甲超市前n年的总销售额为(n²－n＋2)万元，乙超市第n年的销售额比前一年销售额多a万元．
(1)设甲、乙两超市第n年的销售额分别为a_n、b_n,求a_n、b_n的表达式；
(2)若其中某一超市的年销售额不足另一超市的年销售额的50%，则该超市将被另一超市收购，判断哪一超市有可能被收购？如果有这种情况，将会出现在第几年？

Answer 1

（1）a_n＝b_n＝a(n∈N^*)（2）第7年乙超市的年销售额不足甲超市的一半，乙超市将被甲超市收购

(1)假设甲超市前n年总销售额为S_n，则S_n＝(n²－n＋2)(n≥2)，因为n＝1时，a₁＝a，则n≥2时，a_n＝S_n－S_n－1＝(n²－n＋2)－[(n－1)²－(n－1)＋2]＝a(n－1)，故a_n＝又b₁＝a，n≥2时，b_n－b_n－1＝a，故b_n＝b₁＋(b₂－b₁)＋(b₃－b₂)＋…＋(b_n－b_n－1)＝a＋a＋a＋…＋a＝a＝a＝a，显然n＝1也适合，故b_n＝a(n∈N^*)．
(2)当n＝2时，a₂＝a，b₂＝a，有a₂>b₂；n＝3时，a₃＝2a，b₃＝a，有a₃>b₃；当n≥4时，a_n≥3a，而b_n<3a，故乙超市有可能被甲超市收购．
当n≥4时，令a_n>b_n，则 (n－1)a>a
n－1>6－4·.即n>7－4·.又当n≥7时，0<4·<1，
故当n∈N^*且n≥7时，必有n>7－4·.
即第7年乙超市的年销售额不足甲超市的一半，乙超市将被甲超市收购．