题目内容

已知正数x、y满足xy=x+y+3.
(1)求xy的范围;
(2)求x+y的范围.
(1)∵正数x、y满足x+y+3=xy,
∴xy=x+y+3≥3+2
xy
,即xy-2
xy
-3≥0,可以变形为(
xy
-3)(
xy
+1)≥0,
xy
≥3,即xy≥9,
当且仅当x=y=3时取等号,
∴xy的范围是[9,+∞);
(2)∵x、y均为正数,
∴x+y≥2
xy
,则xy≤(
x+y
2
)2

∴x+y+3=xy≤(
x+y
2
)2
,即(x+y)2-4(x+y)-12≥0,
化简可得,(x+y+2)(x+y-6)≥0,
∴x+y≥6,
当且仅当x=y=3时取等号,
∴x+y的范围是[6,+∞).
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