题目内容

(本题14分)已知函数处取得极值,且在处的切线的斜率为1。
(Ⅰ)求的值及的单调减区间;
(Ⅱ)设>0,>0,,求证:

解析试题分析:解:(Ⅰ) 
,∴ ,即,∴
 ,又,∴ ,∴
综上可知   
,定义域为>0, 
<0 得 0<,∴的单调减区间为……………6分
(Ⅱ)先证
即证
即证:
 ,∵>0,>0 ,∴ >0,即证
 则

 
① 当,即0<<1时,>0,即>0
在(0,1)上递增,∴=0,
② 当,即>1时,<0,即<0
在(1,+∞)上递减,∴=0,
③ 当,即=1时,=0
综合①②③知


∴  
综上可得    ……………14分
考点:导数,极值,函数与不等式
点评:对于导数在研究函数中的运用,关键是利用导数的符号判定单调性,进而得到极值,和最值, 证明不等式。属于中档题。

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