题目内容
【题目】已知函数,其中
.
(1)当时,求函数
在
处的切线方程;
(2)若函数存在两个极值点
,求
的取值范围;
(3)若不等式对任意的实数
恒成立,求实数
的取值范围.
【答案】(1) .
(2) .
(3) .
【解析】分析:(1)求出,由
的值可得切点坐标,求出
的值,可得切线斜率,利用点斜式可得曲线
在点
处的切线方程;(2)
是方程
的两个正根,可得
,则
可化为
,令
,可得
在
上单调递增,所以
;(3)
对任意的实数
恒成立,即
对任意的实数
恒成立,令
,利用导数研究函数的单调性,讨论
的范围,令
的最小值不小于零,可得到实数
的取值范围.
详解:(1)当时,
,故
,
且,故
所以函数在
处的切线方程为
(2)由,
可得
因为函数存在两个极值点
,所以
是方程
的两个正根,
即的两个正根为
所以,即
所以
令,故
,
在
上单调递增,
所以
故得取值范围是
(3)据题意,对任意的实数
恒成立,
即对任意的实数
恒成立.
令,则
①若,当
时,
,故
符合题意;
②若,
(i)若,即
,则
,
在
上单调赠
所以当时,
,故
符合题意;
(ii)若,即
,令
,得
(舍去),
,当
时,
,
在
上单调减;
当时,
,
在
上单调递增,
所以存在,使得
,与题意矛盾,
所以不符题意.
③若,令
,得
当时,
,
在
上单调增;当
时,
,
在
上单调减.
首先证明:
要证:,即要证:
,只要证:
因为,所以
,故
所以
其次证明,当时,
对任意的
都成立
令,则
,故
在
上单调递增,
所以,则
所以当时,
对任意的
都成立
所以当时,
即,与题意矛盾,故
不符题意,
综上所述,实数的取值范围是
.
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【题目】某互联网公司为了确定下一季度的前期广告投入计划,收集了近个月广告投入量
(单位:万元)和收益
(单位:万元)的数据如下表:
月份 | ||||||
广告投入量 | ||||||
收益 |
他们分别用两种模型①,②
分别进行拟合,得到相应的回归方程并进行残差分析,得到如图所示的残差图及一些统计量的值:
(Ⅰ)根据残差图,比较模型①,②的拟合效果,应选择哪个模型?并说明理由;
(Ⅱ)残差绝对值大于的数据被认为是异常数据,需要剔除:
(ⅰ)剔除异常数据后求出(Ⅰ)中所选模型的回归方程
(ⅱ)若广告投入量时,该模型收益的预报值是多少?
附:对于一组数据,
,……,
,其回归直线
的斜率和截距的最小二乘估计分别为:
,
.