题目内容
【题目】已知函数.
(1)求函数的单调区间;
(2)若满足:对任意的
,都有
恒成立,试确定实数
的取值范围.
【答案】(1)见解析(2)
【解析】试题分析:(1)求导,通过讨论的取值研究导函数的符号确定函数的单调性;(2)将问题等价转化为
,再通过导数研究函数的单调性和最值.
试题解析:(1)∵
,∴
,
当k≤0时,f′(x)>0恒成立,故函数在(1,+∞)为增函数,
当k>0时,令,得
当,即
时,函数为减函数,
当,即
时,函数为增函数,
综上所述,当k≤0时,函数在(1,+∞)为增函数,
当k>0时,函数在
为减函数,在
为增函数.
(2),
因为对任意的,都有
恒成立
所以当,有
成立
当时,
恒成立,
在
为增函数
由=
得
,所以
当时,由
得
易知在
为减函数,在
为增函数
若,则
在
为减函数,由
=
得,所以
若,则
在
为减函数,在
为增函数,
所以=
,
而时
恒成立,所以
适合题意
若,则
在
为减函数,在
为增函数,
所以=
,
令,
,
则,所以
在
为减函数,所以
,所以
适合题意
综上所述:
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