题目内容
【题目】已知函数
.
（1）求函数
的单调区间；
（2）若
满足：对任意的
，都有
恒成立，试确定实数
的取值范围.
【答案】（1）见解析（2）
【解析】试题分析：（1）求导，通过讨论
的取值研究导函数的符号确定函数的单调性；（2）将问题等价转化为
，再通过导数研究函数的单调性和最值.
试题解析：（1）∵
，∴
，
当k≤0时，f′（x）＞0恒成立，故函数在（1，+∞）为增函数，
当k＞0时，令
，得
当
，即
时，函数为减函数，
当
，即
时，函数为增函数，
综上所述，当k≤0时，函数
在（1，+∞）为增函数，
当k＞0时，函数
在
为减函数，在
为增函数．
（2）
，
因为对任意的
，都有
恒成立
所以当
，有
成立
当
时， 
恒成立， 
在
为增函数
由
= 
得
，所以
当
时，由
得
易知
在
为减函数，在
为增函数
若
，则
在
为减函数，由
= 
得
，所以
若
，则
在
为减函数，在
为增函数， 
所以
= 
，
而
时
恒成立，所以
适合题意
若
，则
在
为减函数，在
为增函数， 
所以
= 
，
令
， 
，
则
，所以
在
为减函数，所以
，所以
适合题意
综上所述： 
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