Question

（1）证明：函数f（x）=x+

2

x

在（0，

2

]上是减函数，在[

2

，+∞）上是增函数；
（2）试讨论方程x+

2

x

=a，（x∈（1，2]，a∈R）的解的个数．

Answer 1

分析：（1）求导函数，利用导数的正负，可得结论；
（2）函数在（1，

2

]上是减函数，在[

2

，2]上是增函数，求出函数的最值，即可求得结论．

解答：（1）证明：求导函数可得f′（x）=1-

2

x2

当x∈（0，

2

]时，f′（x）≤0；当x∈[

2

，+∞）时，f′（x）≥0，
∴函数f（x）=x+

2

x

在（0，

2

]上是减函数，在[

2

，+∞）上是增函数；
（2）解：由（1）知，函数在（1，

2

]上是减函数，在[

2

，2]上是增函数，
∴f（x）_min=f（

2

）=2

2

，f（x）_max=f（2）=3
∴a＜2

2

或a＞3时，方程无解；a=2

2

或a=3时，方程有一个解；2

2

＜a＜3时，方程有两个解．

点评：本题考查函数的单调性，考查方程解的讨论，正确求导，确定函数的单调性是关键．