Question

已知函数f(x)=

a

2

-

2x

2x+1

（a为常数）
（1）证明：函数f（x）在（-∞，+∞）上是减函数；
（2）若f（x）为奇函数，求a的值．

Answer 1

分析：（1）要用函数的单调性的定义来证明函数是一个减函数，首先取两个具有大小关系的变量，利用这两个自变量的函数值相减，把最后结果整理成因式乘积的形式，判断差和0的关系．
（2）根据函数是一个奇函数，并且函数的定义域包含0，所以只要写出f（0）=0，得到关于a的等式，解方程即可．

解答：解：（1）证明：在（-∞，+∞）上任取两个值x₁，x₂且x₁＜x₂
f（x₁）-f（x₂）=（

a

2

-

2x1

2x1+1

）-（

a

2

-

2x2

2x2+1

）
=

2x2

2x2+1

-

2x1

2x1+1

=

2x2-2x1

(2x1+1)(2x2+1)

∵2＞1且x₁＜x₂
∴2x2-2x1＞0又(2x1+1)(2x2+1)＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＞0即f（x₁）＞f（x₂）
∴函数f（x）在（-∞，+∞）上是减函数．
（2）∵f（x）为奇函数且在x=0处有意义，
∴f（0）=0
∴

a

2

-

20

20+1

=0
∴a=1

点评：本题考查函数的奇偶性，考查函数的单调性的判断与证明，是一个考查奇偶性和单调性的综合问题，注意这种问题一般是用定义来证明的．