题目内容
【题目】已知函数f(x)＝|x＋4|－|x－1|.
(1)解不等式f(x)＞3；
(2)若不等式f(x)＋1≤4a－5×2a有解，求实数a的取值范围.
【答案】（1）{x|x＞0}.（2）(－∞，0]∪[2，＋∞).
【解析】
（Ⅰ）由题意可得f（x）的分段函数，分类讨论，求得不等式f（x）＞3的解集．
（Ⅱ）根据题意可得f（x）的最小值为﹣5，可得4a﹣5×2a﹣1≥﹣5，由此求得实数a的取值范围．
(1)f(x)＝
当x≤－4时，无解；
当－4＜x＜1时，由2x＋3＞3，
解得0＜x＜1；
当x≥1时，5＞3恒成立，
故原不等式的解集为{x|x＞0}.
(2)将f(x)＋1≤4a－5×2a，即f(x)≤4a－5×2a－1有解，转化为f(x)min≤4a－5×2a－1.
易知f(x)的最小值为－5，
∴4a－5×2a－1≥－5，
即4a－5×2a＋4≥0，
即2a≥4或2a≤1，∴a≥2或a≤0，
故实数a的取值范围是(－∞，0]∪[2，＋∞).
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