题目内容
13.若a,b,c三个正数成等差数列,公差d≠0,自然数n≥2,求证:an+cn≥2bn.分析 用数学归纳法,即可证明命题成立.
解答 证明:用数学归纳法,
当n=2时,∵a+c=2b,
∴(a+c)2=4b2,
∴a2+c2+2ac=4b2,
即2(a2+c2)≥4b2,
∴a2+c2≥2b2;
假设n=k时成立,即ak+ck≥2bk;
那么,当n=k+1时,且由2b=a+c,得
ak+1+ck+1-2bk+1=ak+1+ck+1-(a+c)•bk;
结合上边的假设ak+ck≥2bk,得
ak+1+ck+1-(a+c)•bk≥ak+1+ck+1-(a+c)•$\frac{{a}^{k}{+c}^{k}}{2}$=$\frac{(c-a)•{(c}^{k}{-a}^{k})}{2}$≥0,
即ak+1+ck+1-2bk+1≥0,
∴ak+1+ck+1≥2bk+1;
所以n=k+1时也成立,
由以上归纳假设得到
an+cn≥2bn (n≥2).
点评 本题考查了用数学归纳法证明数学命题的应用问题,是综合性题目.
练习册系列答案
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