题目内容
在(x2+x+1)n=
x2n+
x2n-1+
x2n-2+…+
x+
的展开式中，把
，
，
，…，
叫做三项式的n次系数列．
（1）写出三项式的2次系数列和3次系数列；
（2）列出杨辉三角形类似的表（0≤n≤4，n∈N），用三项式的n次系数表示
，
，
（1≤k≤2n-1）；
（3）用二项式系数表示
．
| D | 0n |
| D | 1n |
| D | 2n |
| D | 2n-1n |
| D | 2nn |
| D | 0n |
| D | 1n |
| D | 2n |
| D | 2nn |
（1）写出三项式的2次系数列和3次系数列；
（2）列出杨辉三角形类似的表（0≤n≤4，n∈N），用三项式的n次系数表示
| D | 0n+1 |
| D | 1n+1 |
| D | k+1n+1 |
（3）用二项式系数表示
| D | 3n |
（1）在( x2+x+1 )n=
x2 n+
x2 n-1+
x2 n-2+…+
x+
的展开式中，
∵（x2+x+1）2=x4+x2+1+2x3+2x2+2x=x4+2x3+3x2+2x+1，
∴
=1 ，
=2 ，
=3 ，
=2 ，
=1．
∵（x2+x+1）3=（x4+2x3+3x2+2x+1）（x2+x+1）=x6+3x5+6x4+7x3+6x2+3x+1，
∴
=1 ，
=3 ，
=6 ，
=7 ，
=6 ，
=3 ，
=1．
（2）列出杨辉三角形类似的表（0≤n≤4，n∈N）：
=
=0 ，
=
+
=n+1 ，
=
+
+
( 1≤k≤2 n-1 )．
（3）用二项式系数表示
：
=1 ，
=
+
+
=3=
，
=
+
+
=6=
=
+
+
=10=
， …
可得
=
+
+
=1+n-2+
=
．
∵
=
+
+
，
∴
-
=
+
=
+
-1=
-1．
∵
-
=
-1，
-
=
-1，
-
=
-1，… ，
-
=
-1，
∴
-
=
+
+
+…+
-( n-2 )
=(
-
)+(
-
)+(
-
)+…+(
-
)-( n-2 )=
-
-( n-2 )
=
-( n+2 )．
∴
=
-
．
| D | 0n |
| D | 1n |
| D | 2n |
| D | 2 n-1n |
| D | 2 nn |
∵（x2+x+1）2=x4+x2+1+2x3+2x2+2x=x4+2x3+3x2+2x+1，
∴
| D | 02 |
| D | 12 |
| D | 22 |
| D | 32 |
| D | 42 |
∵（x2+x+1）3=（x4+2x3+3x2+2x+1）（x2+x+1）=x6+3x5+6x4+7x3+6x2+3x+1，
∴
| D | 03 |
| D | 13 |
| D | 23 |
| D | 33 |
| D | 43 |
| D | 53 |
| D | 63 |
（2）列出杨辉三角形类似的表（0≤n≤4，n∈N）：
|
| D | 0n+1 |
| D | 0n |
| D | 1n+1 |
| D | 1n |
| D | 0n |
| D | k+1n+1 |
| D | k-1n |
| D | kn |
| D | k+1n |
（3）用二项式系数表示
| D | 3n |
| D | 21 |
| D | 22 |
| D | 01 |
| D | 11 |
| D | 21 |
| C | 23 |
| D | 23 |
| D | 02 |
| D | 12 |
| D | 22 |
| C | 24 |
| D | 24 |
| D | 03 |
| D | 13 |
| D | 23 |
| C | 25 |
可得
| D | 2n-1 |
| D | 0n-2 |
| D | 1n-2 |
| D | 2n-2 |
| C | 2n-1 |
| C | 2n |
∵
| D | 3n |
| D | 1n-1 |
| D | 2n-1 |
| D | 3n-1 |
∴
| D | 3n |
| D | 3n-1 |
| D | 1n-1 |
| D | 2n-1 |
| C | 1n |
| C | 2n |
| C | 2n+1 |
∵
| D | 33 |
| D | 32 |
| C | 24 |
| D | 34 |
| D | 33 |
| C | 25 |
| D | 35 |
| D | 34 |
| C | 26 |
| D | 3n |
| D | 3n-1 |
| C | 2n+1 |
∴
| D | 3n |
| D | 32 |
| C | 24 |
| C | 25 |
| C | 26 |
| C | 2n+1 |
=(
| C | 35 |
| C | 34 |
| C | 36 |
| C | 35 |
| C | 37 |
| C | 36 |
| C | 3n+2 |
| C | 3n+1 |
| C | 3n+2 |
| C | 34 |
=
| C | 3n+2 |
∴
| D | 3n |
| C | 3n+2 |
| C | 1n |
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