题目内容

在(x2+x+1)n=
D
0
n
x2n+
D
1
n
x2n-1+
D
2
n
x2n-2+…+
D
2n-1
n
x+
D
2n
n
的展开式中，把
D
0
n
，
D
1
n
，
D
2
n
，…，
D
2n
n
叫做三项式的n次系数列．
（1）写出三项式的2次系数列和3次系数列；
（2）列出杨辉三角形类似的表（0≤n≤4，n∈N），用三项式的n次系数表示
D
0
n+1
，
D
1
n+1
，
D
k+1
n+1
（1≤k≤2n-1）；
（3）用二项式系数表示
D
3
n
．
分析：（1）由（x2+x+1）2=x4+x2+1+2x3+2x2+2x=x4+2x3+3x2+2x+1，求得2次系数列．同理根据（x2+x+1）3=（x4+2x3+3x2+2x+1）（x2+x+1）=x6+3x5+6x4+7x3+6x2+3x+1，求得3次系数列．
（2）如图所示：根据三项式的2次系数列和3次系数列的定义，可得结论．
（3）根据三项式的2次系数列和3次系数列的定义，再利用组合数公式的性质，可用二项式系数表示
D
3
n
．
解答：解：（1）在( x2+x+1 )n=
D
0
n
x2 n+
D
1
n
x2 n-1+
D
2
n
x2 n-2+…+
D
2 n-1
n
x+
D
2 n
n
的展开式中，
∵（x2+x+1）2=x4+x2+1+2x3+2x2+2x=x4+2x3+3x2+2x+1，
∴
D
0
2
=1 ， 
D
1
2
=2 ， 
D
2
2
=3 ， 
D
3
2
=2 ， 
D
4
2
=1．
∵（x2+x+1）3=（x4+2x3+3x2+2x+1）（x2+x+1）=x6+3x5+6x4+7x3+6x2+3x+1，
∴
D
0
3
=1 ， 
D
1
3
=3 ， 
D
2
3
=6 ， 
D
3
3
=7 ， 
D
4
3
=6 ， 
D
5
3
=3 ， 
D
6
3
=1．
（2）列出杨辉三角形类似的表（0≤n≤4，n∈N）：
    1    
   111   
  12321  
 1367631 
14101619161041
D
0
n+1
=
D
0
n
=0 ， 
D
1
n+1
=
D
1
n
+
D
0
n
=n+1 ， 
D
k+1
n+1
=
D
k-1
n
+
D
k
n
+
D
k+1
n
 ( 1≤k≤2 n-1 )．
（3）用二项式系数表示
D
3
n
：
D
2
1
=1 ， 
D
2
2
=
D
0
1
+
D
1
1
+
D
2
1
=3=
C
2
3
 ， 
D
2
3
=
D
0
2
+
D
1
2
+
D
2
2
=6=
C
2
4

D
2
4
=
D
0
3
+
D
1
3
+
D
2
3
=10=
C
2
5
 ， …
可得
D
2
n-1
=
D
0
n-2
+
D
1
n-2
+
D
2
n-2
=1+n-2+
C
2
n-1
=
C
2
n
．
∵
D
3
n
=
D
1
n-1
+
D
2
n-1
+
D
3
n-1
，
∴
D
3
n
-
D
3
n-1
=
D
1
n-1
+
D
2
n-1
=
C
1
n
+
C
2
n
-1=
C
2
n+1
-1．
∵
D
3
3
-
D
3
2
=
C
2
4
-1，
D
3
4
-
D
3
3
=
C
2
5
-1，
D
3
5
-
D
3
4
=
C
2
6
-1，… ， 
D
3
n
-
D
3
n-1
=
C
2
n+1
-1，
∴
D
3
n
-
D
3
2
=
C
2
4
+
C
2
5
+
C
2
6
+…+
C
2
n+1
-( n-2 )
=( 
C
3
5
-
C
3
4
 )+( 
C
3
6
-
C
3
5
 )+( 
C
3
7
-
C
3
6
 )+…+( 
C
3
n+2
-
C
3
n+1
 )-( n-2 )=
C
3
n+2
-
C
3
4
-( n-2 )
=
C
3
n+2
-( n+2 )．
∴
D
3
n
=
C
3
n+2
-
C
1
n
．
点评：本题主要考查二项式定理的应用，组合数的计算公式的应用，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
下列选项中正确的是（　　）
A、命题p：?x0∈R，tanx0=1；命题q：?x∈R，x2-x+1＞0，则命题“p∧?q”是真命题B、集合M={x|x2＜4}，N={x|x2-2x-3＜0}，则M∩N={x|-2＜x＜3}C、命题“若x2-3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2-3x+2≠0”D、函数f（x）=x2+2（m-2）x+4在[1，+∞）上为增函数，则m的取值范围是m＜1
对于定义在D上的函数y=f（x），若同时满足．
①存在闭区间[a，b]⊆D，使得任取x1∈[a，b]，都有f（x1）=c （c是常数）；
②对于D内任意x2，当x2∉[a，b]时总有f（x2）＞c称f（x）为“平底型”函数．
（1）（理）判断f1（x）=|x-1|+|x-2|，f2（x）=x+|x-2|是否是“平底型”函数？简要说明理由；
（文）判断f1（x）=|x-1|+|x-2|，f2（x）=x-|x-3|是否是“平底型”函数？简要说明理由；
（2）（理）设f（x）是（1）中的“平底型”函数，若|t-k|+|t+k|≥|k|•f（x），k∈R且k≠0，对一切t∈R恒成立，求实数x的范围；
（文）设f（x）是（1）中的“平底型”函数，若|t-1|+|t+1|≥f（x），对一切t∈R恒成立，求实数x的范围；
（3）（理）若F（x）=mx+
x2+2x+n
，x∈[-2，+∞）是“平底型”函数，求m和n的值；
（文）若F（x）=m|x-1|+n|x-2|是“平底型”函数，求m和n满足的条件．
已知二次函数f（x）=ax2+bx+c满足f（1）=0．
（I）若a＞b＞c，证明f（x）的图象与x轴有两个交点，且这两个交点间的距离d满足：
3
2
＜d＜3；
（Ⅱ）设f（x）在x=
t+1
2
（t＞0，t≠1）处取得最小值，且对任意实数x，等式f（x）g（x）+anx+bn=xn+1（其中n∈N，g（x）=x2+x+1）都成立，若数列{cn}的前n项和为bn，求{cn}的通项公式．
在(x2+x+1)n=
D0n
x2n+
D1n
x2n-1+
D2n
x2n-2+…+
D2n-1n
x+
D2nn
的展开式中，把
D0n
，
D1n
，
D2n
，…，
D2nn
叫做三项式的n次系数列．
（1）写出三项式的2次系数列和3次系数列；
（2）列出杨辉三角形类似的表（0≤n≤4，n∈N），用三项式的n次系数表示
D0n+1
，
D1n+1
，
Dk+1n+1
（1≤k≤2n-1）；
（3）用二项式系数表示
D3n
．

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