题目内容
已知数列满足+=4n-3(n∈).
(1)若数列是等差数列,求的值;
(2)当=2时,求数列的前n项和;
(3)若对任意n∈,都有≥5成立,求的取值范围.
(1)若数列是等差数列,求的值;
(2)当=2时,求数列的前n项和;
(3)若对任意n∈,都有≥5成立,求的取值范围.
⑴;⑵=(k∈Z);⑶,,.
(1)若数列是等差数列,则=+(n-1)d,=+nd.
由+=4n-3,得(+nd)+[+(n-1)d]=4n-3,即2d=4,-d=-3,解得d=2,=.
(2)由+=4n-3(n∈),得+=4n+1(n∈).
两式相减,得-=4.
所以数列是首项为,公差为4的等差数列.
数列是首项为,公差为4的等差数列.
由+=1,=2,得=-1.
所以=(k∈Z).①当n为奇数时,=2n,=2n-3.
=+++…+=(+)+(+)+…+(+)+
=1+9+…+(4n-11)+2n=+2n=.
②当n为偶数时,=+++…+=(+)+(+)+…+(+)==1+9+…+(4n-7) =.
所以=(k∈Z).
(3)由(2)知,=(k∈Z).
①当n为奇数时,=2n-2+,=2n-1-.
由≥5,得-≥+16n-10.
令=+16n-10=+6.
当n=1或n=3时,=2,所以-≥2.
解得≥2或≤-1.
②当n为偶数时,=2n-3-,=2n+.
由≥5,得+≥+16n-12.
令=+16n-12=+4.
当n=2时,=4,所以+≥4.
解得≥1或≤-4.
综上所述,的取值范围是,,.
由+=4n-3,得(+nd)+[+(n-1)d]=4n-3,即2d=4,-d=-3,解得d=2,=.
(2)由+=4n-3(n∈),得+=4n+1(n∈).
两式相减,得-=4.
所以数列是首项为,公差为4的等差数列.
数列是首项为,公差为4的等差数列.
由+=1,=2,得=-1.
所以=(k∈Z).①当n为奇数时,=2n,=2n-3.
=+++…+=(+)+(+)+…+(+)+
=1+9+…+(4n-11)+2n=+2n=.
②当n为偶数时,=+++…+=(+)+(+)+…+(+)==1+9+…+(4n-7) =.
所以=(k∈Z).
(3)由(2)知,=(k∈Z).
①当n为奇数时,=2n-2+,=2n-1-.
由≥5,得-≥+16n-10.
令=+16n-10=+6.
当n=1或n=3时,=2,所以-≥2.
解得≥2或≤-1.
②当n为偶数时,=2n-3-,=2n+.
由≥5,得+≥+16n-12.
令=+16n-12=+4.
当n=2时,=4,所以+≥4.
解得≥1或≤-4.
综上所述,的取值范围是,,.
练习册系列答案
相关题目