Question

如图，正四棱柱中，，点在上且．

（Ⅰ）证明：平面；

（Ⅱ）求二面角的大小．

Answer 1

解法一：

依题设，，．

（Ⅰ）连结交于点，则．

由三垂线定理知，．

在平面内，连结交于点，

由于，

故，，

与互余．

于是．

与平面内两条相交直线都垂直，

所以平面．

（Ⅱ）作，垂足为，连结．由三垂线定理知，

故是二面角的平面角．

，

，．

，．

又，．

．

所以二面角的大小为．

解法二：

以为坐标原点，射线为轴的正半轴，

建立如图所示直角坐标系．

依题设，．，．

（Ⅰ）因为

故，．

又，

所以平面．

（Ⅱ）设向量是平面的法向量，则

，．

故，．

令，则，，．

等于二面角的平面角，

.

所以二面角的大小为．