题目内容
如图,正四棱柱中,,点在上.
(1)证明:平面;(2)求二面角的大小.
解法一: ,
依题设知,.
(Ⅰ)连结交于点,则.
由三垂线定理知,. 3分
在平面内,连结交于点,
由于,
故,,
与互余.
于是.
与平面内两条相交直线都垂直,
所以平面. 6分
(Ⅱ)作,垂足为,连结.由三垂线定理知,
故是二面角的平面角. 8分
,
,.
,.
又,.
.
所以二面角的大小为. 12分
解法二:
以为坐标原点,射线为轴的正半轴,
建立如图所示直角坐标系.
依题设,.
,
. 3分
(Ⅰ)因为,,
故,.
又,
所以平面. 6分
(Ⅱ)设向量是平面的法向量,则
,.
故,.
令,则,,. 9分
等于二面角的平面角,
.
所以二面角的大小为.
解析:
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