Question

17． 如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的各棱均相等，AB=2，D是BC上的一点，AD⊥C₁D．
（1）求证：AD⊥侧面BCC₁B₁；
（2）求证：A₁B∥面ADC₁；
（3）求异面直线A₁B与DC₁所成角；
（4）求CA与平面AC₁D所成角的大小；
（5）求二面角D-AC₁-C的正弦值．

Answer 1

分析 （1）由已知条件先推导出AD⊥CC₁，AD⊥C₁D，由此能证明AD⊥侧面BCC₁B₁．
（2）连结A₁C，交AC₁于点O，由三角形中位线性质得OD∥A₁B，由此能证明A₁B∥面ADC₁．
（3）由OD∥A₁B，得∠ODC₁是异面直线A₁B与DC₁所成角，由此利用余弦定理能求出异面直线A₁B与DC₁所成角．
（4）以D为原点，DA为x轴，DB为y轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出CA与平面AC₁D所成角的大小．
（5）求出平面ACC₁的法向量和平面AC₁D的法向量，由此利用向量法能求出二面角D-AC₁-C的正弦值．

解答 （1）证明：∵正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁⊥面ABC，AD?面ABC，
∴AD⊥CC₁，
∵AD⊥C₁D，C₁D∩C₁C=C₁，
∴AD⊥侧面BCC₁B₁．
（2）证明：由（1）知AD⊥侧面BCC₁B₁，∴AD⊥BC，
∵AB=AC，∴D是BC中点，
连结A₁C，交AC₁于点O，则O是AC₁中点，连结OD，则OD是△A₁BC的中位线，
∴OD∥A₁B，
∵A₁B?面ADC₁，OD?面ADC₁，
∴A₁B∥面ADC₁．
（3）解：由（2）得OD∥A₁B，
∴∠ODC₁是异面直线A₁B与DC₁所成角，
∵正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的各棱均相等，AB=2，
∴OC=OC₁=$\sqrt{2}$，C₁D=$\sqrt{4+1}$=$\sqrt{5}$，OD=$\sqrt{2-1}$=1，
∴cos∠ODC₁=$\frac{O{D}^{2}+D{{C}_{1}}^{2}-O{{C}_{1}}^{2}}{2OD•D{C}_{1}}$=$\frac{1+5-2}{2×1×\sqrt{5}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴异面直线A₁B与DC₁所成角为arccos$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
（4）解：以D为原点，DA为x轴，DB为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则C（0，-1，0），A（$\sqrt{3}$，0，0），C₁（0，-1，2），D（0，0，0），
$\overrightarrow{CA}$=（$\sqrt{3}$，1，0），$\overrightarrow{DA}$=（$\sqrt{3}$，0，0），$\overrightarrow{D{C}_{1}}$=（0，-1，2），
设平面AC₁D的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DA}=\sqrt{3}x=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{D{C}_{1}}=-y+2z=0}\end{array}\right.$，取z=1，得$\overrightarrow{n}$=（0，2，1），
设CA与平面AC₁D所成角为θ，
sinθ=|cos＜$\overrightarrow{CA}，\overrightarrow{n}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{CA}|•|\overrightarrow{n}|}$|=$\frac{2}{2\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴CA与平面AC₁D所成角的大小为arcsin$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
（5）解：$\overrightarrow{AC}$=（-$\sqrt{3}$，-1，0），$\overrightarrow{A{C}_{1}}$=（-$\sqrt{3}$，-1，2），
设平面ACC₁的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AC}=-\sqrt{3}a-b=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{A{C}_{1}}=-\sqrt{3}a-b+2c=0}\end{array}\right.$，取a=$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}$，-3，0），
由（4）知平面AC₁D的法向量$\overrightarrow{n}$=（0，2，1），
设二面角D-AC₁-C的平面角为α，
则cosα=|cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$|=|$\frac{-6}{\sqrt{5}•\sqrt{12}}$|=$\frac{\sqrt{15}}{5}$，
∴sinα=$\sqrt{1-（\frac{\sqrt{15}}{5}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$．
∴二面角D-AC₁-C的正弦值为$\frac{\sqrt{10}}{5}$．

点评 本题考查线面垂直、线面平行的证明，考查异面直线所成角、直线与平面所成角的大小的求法，考查二面角的正弦值的求法，是中档题，解题时要注意空间思维能力的培养．