题目内容
设x＞0，y＞0，z＞0，且x2+y2+z2=1．
（Ⅰ）求证：xy+yz+xz≤1；
（Ⅱ）求（
+
+
）2的最小值．
（Ⅰ）求证：xy+yz+xz≤1；
（Ⅱ）求（
| yz |
| x |
| xz |
| y |
| xy |
| z |
分析：（Ⅰ）利用重要不等式x2+y2≥2xy，通过同向不等式可加性，直接求证：xy+yz+xz≤1；
（Ⅱ）利用
+
≥2z2；
+
≥2y2；
+
≥2x2，推出（
+
+
）2的不等关系，利用已知条件即可求出表达式的最小值．
（Ⅱ）利用
| y2z2 |
| x2 |
| x2z2 |
| y2 |
| y2z2 |
| x2 |
| x2y2 |
| z2 |
| x2z2 |
| y2 |
| x2y2 |
| z2 |
| yz |
| x |
| xz |
| y |
| xy |
| z |
解答：解：（Ⅰ）证明：因为x2+y2≥2xy；
y2+z2≥2yz；
x2+z2≥2xz；
所以x2+y2+z2≥xy+yz+xz；
故xy+yz+xz≤1，
当且仅当x=y=z时取等号；---------------------（6分）
（Ⅱ）因为
+
≥2z2；
+
≥2y2；
+
≥2x2
所以
+
+
≥x2+y2+z2=1；
而（
+
+
）2=
+
+
+2（x2+y2+z2）≥3
所以（
+
+
）2≥3，当且仅当x=y=z时取等号；
故当x=y=z=
时，（
+
+
）2的最小值为3．------------（14分）
y2+z2≥2yz；
x2+z2≥2xz；
所以x2+y2+z2≥xy+yz+xz；
故xy+yz+xz≤1，
当且仅当x=y=z时取等号；---------------------（6分）
（Ⅱ）因为
| y2z2 |
| x2 |
| x2z2 |
| y2 |
| y2z2 |
| x2 |
| x2y2 |
| z2 |
| x2z2 |
| y2 |
| x2y2 |
| z2 |
所以
| y2z2 |
| x2 |
| x2z2 |
| y2 |
| x2y2 |
| z2 |
而（
| yz |
| x |
| xz |
| y |
| xy |
| z |
| y2z2 |
| x2 |
| x2z2 |
| y2 |
| x2y2 |
| z2 |
所以（
| yz |
| x |
| xz |
| y |
| xy |
| z |
故当x=y=z=
| ||
| 3 |
| yz |
| x |
| xz |
| y |
| xy |
| z |
点评：本题考查不等式的证明方法综合法的应用，重要不等式的应用，考查分析问题与解决问题的能力．
练习册系列答案
考前必练系列答案
相关题目
与
的大小；
．