题目内容

设x＞0，y＞0，z＞0，求证：
x2+xy+y2
+
y2+yz+z2
＞x+y+z．
分析：利用配方法可得不等式，再相加，即可得到结论．
解答：证明：∵x＞0，y＞0，z＞0，
∴
x2+xy+y2
=
(x+
y
2
)2+
3y2
4
＞x+
y
2
①
y2+yz+z2
=
(z+
y
2
)2+
3
4
y2
＞z+
y
2
②
①+②可得：
x2+xy+y2
+
y2+yz+z2
＞x+y+z．
点评：本题考查不等式的证明，考查配方法的运用，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
设x＞0，y＞0，z＞0，且x2+y2+z2=1．
（Ⅰ）求证：xy+yz+xz≤1；   
（Ⅱ）求（
yz
x
+
xz
y
+
xy
z
）2的最小值．
设x＞0，y＞0，z＞0．
（Ⅰ）利用作差法比较
x2
x+y
与
3x-y
4
的大小；
（Ⅱ）求证：x2+y2+z2≥xy+yz+zx；
（Ⅲ）利用（Ⅰ）（Ⅱ）的结论，证明：
x3
x+y
+
y3
y+z
+
z3
z+x
≥
xy+yz+zx
2
．
设x＞0，y＞0，z＞0，
（Ⅰ）比较
x2
x+y
与
3x-y
4
的大小；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，证明：
x3
x+y
+
y3
y+z
+
z3
z+x
≥
xy+yz+zx
2
．
设x＞0，y＞0，z＞0，
（Ⅰ）比较与的大小；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，证明：．

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