Question

5．（1）5个不同的球分给3个人，允许有人没有分到，有多少方法？
（2）5个不同的球分给3个人，每人至少一个，有多少分法？
（3）5个相同的球分给3个人，每人至少一个，有多少分法？
（4）5个相同的球分给3个人，允许有人没有分到，有多少分法？

Answer 1

分析 （1）5个不同的球分给3个人，允许有人没有分到每一个球都有3种分法，根据分步计数原理可得；
（2）5个不同的球分给3个人，每人至少一个，可以把球分为（1，1，3）或（1，2，2）两组，再分配到3个人，问题得以解决；
（3）5个相同的球分给3个人，每人至少一个，利用隔板法，在5个球种形成的4个空中插入两个隔板，问题得以解决；
（4）分三类，只有一个人有，只有2个人有三个人都有，根据分类计数原理可得．

解答 解：（1）5个不同的球分给3个人，允许有人没有分到每一个球都有3种分法，故有3⁵=243种，
（2）5个不同的球分给3个人，每人至少一个，可以把球分为（1，1，3）或（1，2，2）两组，共有（C₅³+$\frac{{C}_{5}^{2}{C}_{3}^{2}}{{A}_{2}^{2}}$）A₃³=150种，
（3）5个相同的球分给3个人，每人至少一个，利用隔板法，在5个球种形成的4个空中插入两个隔板，
故有C₄²=6种，
（4）只有一个人有，共有3种，只有2个人有（一个2个，另外一个3个，或一个人1个另外一个一个人4个），
有4C₃²=12种，三个人都有，同（3），有6种，故共有3+12+6=21种．

点评 本题考查了分组分配的问题，关键是掌握分组和分清相同和不同的意义，属于中档题．