Question

【题目】若函数在区间上恰好有一个零点，则的最小值为______.

Answer 1

【答案】

【解析】

将函数在区间，上有一个零点等价于方程在区间，上恰有一个根，也即是函数和函数的图象在区间上恰好有一个交点，由二次函数得出函数的值域，令，再分当时，当时，两种情况下两函数图象的交点情况得出的范围，根据双勾函数可求得的最小值.

依题意，函数在区间，上有一个零点等价于方程在区间，上恰有一个根，

函数和函数的图象在区间上恰好有一个交点，

函数关于对称，在上有最小值，时，，，

函数，令，

当时，由复合函数单调性知单调递减，当时，，

所以函数和函数的图象在区间上无交点，

当时，由复合函数单调性知单调递增，如图，

由图可知，当，时，函数图象恰好有1个交点，

此时，解得，

因为在上单调递增，所以，即的最小值为，

故答案为：.