题目内容
(2008•长宁区二模)关于x的方程2sin2x-sinx+p=0在x∈[0,π]有解,则实数p的取值范围是
[-1,
]
1 |
8 |
[-1,
]
.1 |
8 |
分析:设出sinx=t,根据x∈[0,π]得到0≤sinx≤1,即0≤t≤1.故方程2t2-t+p=0 在[0,1]上有解.得到函数p=-2t2+t 在[0,1]上的值域.根据二次函数的性质得到结果.
解答:解:令sinx=t
∵x∈[0,π]∴0≤sinx≤1,即0≤t≤1.
故方程2t2-t+p=0 在[0,1]上有解.
∴函数p=-2t2+t 在[0,1]上的值域.
根据二次函数的性质知
又函数p=-2t2+t 在[0,1]上t=
时,p有最大值等于
,
t=1时,p有最小值等于-1,故-1≤p≤
,
故答案为:[-1,
].
∵x∈[0,π]∴0≤sinx≤1,即0≤t≤1.
故方程2t2-t+p=0 在[0,1]上有解.
∴函数p=-2t2+t 在[0,1]上的值域.
根据二次函数的性质知
又函数p=-2t2+t 在[0,1]上t=
1 |
4 |
1 |
8 |
t=1时,p有最小值等于-1,故-1≤p≤
1 |
8 |
故答案为:[-1,
1 |
8 |
点评:本题考查正弦函数的定义域和值域,二次函数在闭区间上的最值,本题解题的关键是把问题转化为求二次函数在闭区间上的最值,本题是一个中档题目.
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