Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为正方形，PD⊥底面ABCD，则下列命题中：
①AC⊥PB；
②AB∥平面PCD；
③PA与平面PBD所成的角等于PC与平面PBD所成的角；
④异面直线AB与PC所成的角等于异面直线DC与PA所成的角．
正确的命题为    ．

Answer 1

【答案】分析：根据题意，结合三垂线定理判定异面垂直可得AC⊥PB，故①是真命题；根据线面平行判定定理，得到②是真命题；根据直线与平面所成角的定义，结合Rt△PAD≌Rt△PCD，可得③是真命题；根据异面直线所成角的定义，得到AB与PC所成的角不等于异面直线DC与PA所成的角，故④是假命题．
解答：解：对于①，因为PD⊥底面ABCD，得BD是PB在平面ABCD内的射影
又因为ABCD为正方形，所以BD⊥AC，可得AC⊥PB，故①是真命题；
对于②，因为AB∥CD，AB?平面PCD且CD?平面PCD，
所以AB∥平面PCD，故②是真命题；
对于③，因为AD、CD分别为PA、PC在平面ABCD内的射影
所以∠PAD、∠PCD分别是PA与平面PBD所成的角和PC与平面PBD所成的角．
又因为Rt△PAD≌Rt△PCD，所以∠PAD=∠PCD，可得③是真命题；
对于④，因为AB∥CD，可得∠PCD等于AB与PC所成的角，是一个锐角
而CD⊥平面PAD，可得CD⊥PA，即DC与PA所成的角为直角，
所以AB与PC所成的角不等于异面直线DC与PA所成的角，故④是假命题
故答案为：①②③
点评：本题给出底面为正方形且一条侧棱垂直于底面的四棱锥，判断几个关于位置关系命题的真假．着重考查了空间线面垂直、线面平行的判定与性质和异面直线所成角的定义与求法等知识，属于中档题．