Question

15．已知直线l：x-y+c=0（c∈R），⊙M：（x-2）²+（y-2）²=1，直线l把⊙M分成两段圆弧，弧长之比为λ，其中$\frac{1}{2}$＜λ＜1，则c={c|-$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜c＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$，且 c≠0}．

Answer 1

分析 由题意可得弦对的圆心角大于120°而小于180°，即弦心距d大于0而小于$\frac{1}{2}$，再利用点到直线的距离公式可得0＜$\frac{|2-2+c|}{\sqrt{2}}$＜$\frac{1}{2}$，由此求得c的范围．

解答 解：由题意可得，当λ=$\frac{1}{2}$时，弦对的圆心角等于120°；当λ=1时，弦对的圆心角等于180°．
故弦对的圆心角大于120°而小于180°．
当圆心角等于120°时，弦心距d=$\frac{1}{2}$，当圆心角等于180°时，弦心距d=$\frac{1}{2}$．
故弦心距d大于0而小于$\frac{1}{2}$，即0＜$\frac{|2-2+c|}{\sqrt{2}}$＜$\frac{1}{2}$，求得-$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜c＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$，且 c≠0，
故答案为：{c|-$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜c＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$，且 c≠0}．

点评 本题主要考查直线和圆相交的性质，点到直线的距离公式的应用，体现了转化的数学思想，属于中档题．