Question

已知圆O：x²+y²=4和点M(1，

2

)，过点M的圆的两条弦AC，BD互相垂直，设d₁，d₂分别为圆心O到弦AC，BD的距离．
（1）求d₁的最小值与最大值；
（2）求证d12+d22为定值；
（3）求四边形ABCD面积的最大值．

Answer 1

分析：（1）根据题意，已知圆的圆心为O（0，0），半径r=2．由点M到圆心的距离小于半径，可得点M在圆内，由此即可算出d₁的最小值与最大值；
（2）当AC、BD都不过圆心时，设OE⊥AC、OF⊥BD，垂足分别为E、F，利用勾股定理和矩形的性质加以计算，可得d12+d22=|OM|²=3；当AC、BD中有一条过圆心时，上述等式也成立．由此可得d12+d22=3为定值；
（3）利用垂径定理，分别算出|AC|、|BD|关于d₁、d₂的表达式，再利用基本不等式和对角线垂直的四边形面积公式加以计算，结合（2）的结论可得四边形ABCD面积的最大值是5．

解答：解：（1）∵圆O方程为x²+y²=4，M(1，

2

)，
∴圆心为O（0，0），半径r=2．由12+(

2

)2＜4，可得点M在圆内，
因此，当AC过圆心O时，d₁有最小值0；
当AC⊥OM时，d₁有最大值，最大值等于OM=

12+( 2 )2

=

3

；
（2）当AC、BD都不过圆心时，设OE⊥AC，OF⊥BD，垂足分别为E、F，
∴四边形OEMF为矩形，可得d12+d22=|OE|²+|OF|²=|OM|²=3；
当AC、BD中有一条过圆心时，上述等式式也成立．
综上所述，可得d12+d22=3，为定值3；
（3）根据垂径定理，可得
|AC|=2

r2-d12

=2

4-d12

，|BD|=2

r2-d22

=2

4-d22

∴|AC|•|BD|=4

4-d12

•

4-d22

≤4•

(4-d12)+(4-d22)

2

=10
（当且仅当d₁=d₂=

6

2

时等号成立）．
∴四边形ABCD面积S=

1

2

|AC|•|BD|≤5，可得四边形ABCD面积的最大值是5．

点评：本题给出圆内一点M，过M作两条互相垂直的弦AC、BD，求四边形ABCD的面积最大值．着重考查了圆的标准方程、直线与圆的位置关系、用基本不等式求最值和四边形的面积计算等知识，属于中档题．