Question

命题
①函数y=f（x）的图象与直线x=a最多有一个交点；
②函数y=-x²+2ax+1在区间（-∞，2]上单调递增，则a∈（-∞，2]；
③若f(x+2)=

1

f(x)

，当x∈（0，2）时，f（x）=2^x，则f(2011)=

1

2

；
④函数y=log₂（x²+ax+2）的值域为R，则实数a的取值范围是(-2

2

，2

2

)；
⑤函数y=f（1+x）与y=f（-x-1）的图象关于y轴对称；
以上命题正确的个数有（　　）个．

A．2

B．3

C．4

D．5

Answer 1

分析：根据函数的定义可知，函数y=f（x）的图象与直线x=a的交点时0个或1个；函数y=-x²+2ax+1的对称轴为：直线x=a，开口向下，因为函数在区间（-∞，2]上单调递增，所以a≥2；根据f(x+2)=

1

f(x)

，可知函数的周期为4，所以f（2011）=f（4×502+3）=f（3）=f（-1），因为f(1)=

1

f(-1)

，f（1）=2，所以f（-1）=

1

2

；根据函数y=log₂（x²+ax+2）的值域为R，可知t=x²+ax+2可取遍一切正数，从而可求实数a的取值范围是(-∞，-2

2

)∪(2

2

，+∞)；函数y=f（1+x）的图象是由函数y=f（x）的图象向左平移一个单位得到，y=f（-x-1）的图象是由y=f（-x）的图象向左平移一个单位得到，而y=f（x）的图象与y=f（-x）的图象关于y轴对称，所以函数y=f（1+x）与y=f（-x-1）的图象关于x=1对称，故可判断．

解答：解：根据函数的定义可知，函数y=f（x）的图象与直线x=a的交点时0个或1个，即最多有一个交点，故①正确；
函数y=-x²+2ax+1的对称轴为：直线x=a，开口向下．因为函数在区间（-∞，2]上单调递增，所以a≥2，故②错误；
∵f(x+2)=

1

f(x)

，∴f(x+4)=

1

f(x+2)

=f(x)，∴函数的周期为4，∴f（2011）=f（4×502+3）=f（3）=f（-1），∵f(1)=

1

f(-1)

，当x∈（0，2）时，f（x）=2^x，∴f（1）=2，∴f（-1）=

1

2

，故③正确；
∵函数y=log₂（x²+ax+2）的值域为R，∴t=x²+ax+2可取遍一切正数，∴△=a²-8≥0，∴实数a的取值范围是(-∞，-2

2

]∪[2

2

，+∞)，故④错误；
∵函数y=f（1+x）的图象是由函数y=f（x）的图象向左平移一个单位得到，y=f（-x-1）的图象是由y=f（-x）的图象
向左平移一个单位得到，而y=f（x）的图象与y=f（-x）的图象关于y轴对称，所以函数y=f（1+x）与y=f（-x-1）的图象关于x=1对称，故⑤错误
故正确的命题是：①③
故选A．

点评：本题以命题为载体，考查函数的定义，二次函数的单调性，考查函数的值域，考查函数图象的对称性，综合性强，涉及知识点多