题目内容

设n是正整数，r为正有理数．
（Ⅰ）求函数f（x）=（1+x）r+1-（r+1）x-1（x＞-1）的最小值；
（Ⅱ）证明：
nr+1-(n-1)r+1
r+1
＜nr＜
(n+1)r+1-nr+1
r+1
；
（Ⅲ）设x∈R，记[x]为不小于x的最小整数，例如[2]=2，[π]=4，[-
3
2
]=-1．令S=
381
+
382
+
383
+…+
3125
，求[S]的值．
（参考数据：80
4
3
≈344.7，81
4
3
≈350.5，124
4
3
≈618.3，126
4
3
≈631.7)．
解；（Ⅰ）由题意得f'（x）=（r+1）（1+x）r-（r+1）=（r+1）[（1+x）r-1]，
令f'（x）=0，解得x=0．
当-1＜x＜0时，f'（x）＜0，∴f（x）在（-1，0）内是减函数；
当x＞0时，f'（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）内是增函数．
故函数f（x）在x=0处，取得最小值为f（0）=0．
（Ⅱ）由（Ⅰ），当x∈（-1，+∞）时，有f（x）≥f（0）=0，
即（1+x）r+1≥1+（r+1）x，且等号当且仅当x=0时成立，
故当x＞-1且x≠0，有（1+x）r+1＞1+（r+1）x，①
在①中，令x=
1
n
（这时x＞-1且x≠0），得(1+
1
n
)r+1＞1+
r+1
n
．
上式两边同乘nr+1，得（n+1）r+1＞nr+1+nr（r+1），
即nr＜
(n+1)r+1-nr+1
r+1
，②
当n＞1时，在①中令x=-
1
n
（这时x＞-1且x≠0），
类似可得nr＞
nr+1-(n-1)r+1
r+1
，③
且当n=1时，③也成立．
综合②，③得
nr+1-(n-1)r+1
r+1
＜nr＜
(n+1)r+1-nr+1
r+1
，④
（Ⅲ）在④中，令r=
1
3
，n分别取值81，82，83，…，125，
得
3
4
(81
4
3
-80
4
3
)＜
381
＜
3
4
(82
4
3
-81
4
3
)，
3
4
(82
4
3
-81
4
3
)＜
382
＜
3
4
(83
4
3
-82
4
3
)，
3
4
(83
4
3
-82
4
3
)＜
383
＜
3
4
(84
4
3
-83
4
3
)，…
3
4
(125
4
3
-124
4
3
)＜
3125
＜
3
4
(126
4
3
-125
4
3
)，
将以上各式相加，并整理得
3
4
(125
4
3
-80
4
3
)＜S＜
3
4
(126
4
3
-81
4
3
)．
代入数据计算，可得
3
4
(125
4
3
-80
4
3
)≈210.2，
3
4
(126
4
3
-81
4
3
)≈210.9
由[S]的定义，得[S]=211．
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（2013•湖北）设n是正整数，r为正有理数．
（Ⅰ）求函数f（x）=（1+x）r+1-（r+1）x-1（x＞-1）的最小值；
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r+1
＜nr＜
(n+1)r+1-nr+1
r+1
；
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3
2
]=-1．令S=
381
+
382
+
383
+…+
3125
，求[S]的值．
（参考数据：80
4
3
≈344.7，81
4
3
≈350.5，124
4
3
≈618.3，126
4
3
≈631.7)．

设n是正整数，r为正有理数．

(Ⅰ)求函数f(x)＝(1＋x)r+1－(r＋1)x－1(x＞－1)的最小值；

(Ⅱ)证明：；

(Ⅲ)设x∈R，记[x]为不小于x的最小整数，例如[2]＝2，[π]＝4，[－]＝－1．令S＝＋＋＋…＋，求[S]的值．

(参考数据：，，，)

已知函数f（x）=x|x-2m|，常数m∈R．
（1）设m=0．求证：函数f（x）递增；
（2）设m＞0．若函数f（x）在区间[0，1]上的最大值为m2，求正实数m的取值范围；
（3）设-2＜m＜0．记f1（x）=f（x），fk+1（x）=fk（f（x）），k∈N*．设n是正整数，求关于x的方程fn（x）=0的解的个数．
设n是正整数，r为正有理数．
（Ⅰ）求函数f（x）=（1+x）r+1-（r+1）x-1（x＞-1）的最小值；
（Ⅱ）证明：；
（Ⅲ）设x∈R，记[x]为不小于x的最小整数，例如．令的值．
（参考数据：．

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