题目内容
（2013•湖北）设n是正整数，r为正有理数．
（Ⅰ）求函数f（x）=（1+x）r+1-（r+1）x-1（x＞-1）的最小值；
（Ⅱ）证明：
＜nr＜
；
（Ⅲ）设x∈R，记[x]为不小于x的最小整数，例如[2]=2，[π]=4，[-
]=-1．令S=
+
+
+…+
，求[S]的值．
（参考数据：80
≈344.7，81
≈350.5，124
≈618.3，126
≈631.7)．
（Ⅰ）求函数f（x）=（1+x）r+1-（r+1）x-1（x＞-1）的最小值；
（Ⅱ）证明：
| nr+1-(n-1)r+1 |
| r+1 |
| (n+1)r+1-nr+1 |
| r+1 |
（Ⅲ）设x∈R，记[x]为不小于x的最小整数，例如[2]=2，[π]=4，[-
| 3 |
| 2 |
| 3 | 81 |
| 3 | 82 |
| 3 | 83 |
| 3 | 125 |
（参考数据：80
| 4 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
分析：（Ⅰ）先求出函数f（x）的导函数f′（x），令f'（x）=0，解得x=0，再求出函数的单调区间，进而求出最小值为f（0）=0；
（Ⅱ）根据（Ⅰ）知，即（1+x）r+1≥1+（r+1）x，令x=
代入并化简得nr＜
，再令x=-
得，nr＞
，即结论得到证明；
（Ⅲ）根据（Ⅱ）的结论，令r=
，n分别取值81，82，83，…，125，分别列出不等式，再将各式相加得，
(125
-80
)＜S＜
(126
-81
)，再由参考数据和条件进行求解．
（Ⅱ）根据（Ⅰ）知，即（1+x）r+1≥1+（r+1）x，令x=
| 1 |
| n |
| (n+1)r+1-nr+1 |
| r+1 |
| 1 |
| n |
| nr+1-(n-1)r+1 |
| r+1 |
（Ⅲ）根据（Ⅱ）的结论，令r=
| 1 |
| 3 |
| 3 |
| 4 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
| 3 |
| 4 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
解答：解；（Ⅰ）由题意得f'（x）=（r+1）（1+x）r-（r+1）=（r+1）[（1+x）r-1]，
令f'（x）=0，解得x=0．
当-1＜x＜0时，f'（x）＜0，∴f（x）在（-1，0）内是减函数；
当x＞0时，f'（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）内是增函数．
故函数f（x）在x=0处，取得最小值为f（0）=0．
（Ⅱ）由（Ⅰ），当x∈（-1，+∞）时，有f（x）≥f（0）=0，
即（1+x）r+1≥1+（r+1）x，且等号当且仅当x=0时成立，
故当x＞-1且x≠0，有（1+x）r+1＞1+（r+1）x，①
在①中，令x=
（这时x＞-1且x≠0），得(1+
)r+1＞1+
．
上式两边同乘nr+1，得（n+1）r+1＞nr+1+nr（r+1），
即nr＜
，②
当n＞1时，在①中令x=-
（这时x＞-1且x≠0），
类似可得nr＞
，③
且当n=1时，③也成立．
综合②，③得
＜nr＜
，④
（Ⅲ）在④中，令r=
，n分别取值81，82，83，…，125，
得
(81
-80
)＜
＜
(82
-81
)，
(82
-81
)＜
＜
(83
-82
)，
(83
-82
)＜
＜
(84
-83
)，…
(125
-124
)＜
＜
(126
-125
)，
将以上各式相加，并整理得
(125
-80
)＜S＜
(126
-81
)．
代入数据计算，可得
(125
-80
)≈210.2，
(126
-81
)≈210.9
由[S]的定义，得[S]=211．
令f'（x）=0，解得x=0．
当-1＜x＜0时，f'（x）＜0，∴f（x）在（-1，0）内是减函数；
当x＞0时，f'（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）内是增函数．
故函数f（x）在x=0处，取得最小值为f（0）=0．
（Ⅱ）由（Ⅰ），当x∈（-1，+∞）时，有f（x）≥f（0）=0，
即（1+x）r+1≥1+（r+1）x，且等号当且仅当x=0时成立，
故当x＞-1且x≠0，有（1+x）r+1＞1+（r+1）x，①
在①中，令x=
| 1 |
| n |
| 1 |
| n |
| r+1 |
| n |
上式两边同乘nr+1，得（n+1）r+1＞nr+1+nr（r+1），
即nr＜
| (n+1)r+1-nr+1 |
| r+1 |
当n＞1时，在①中令x=-
| 1 |
| n |
类似可得nr＞
| nr+1-(n-1)r+1 |
| r+1 |
且当n=1时，③也成立．
综合②，③得
| nr+1-(n-1)r+1 |
| r+1 |
| (n+1)r+1-nr+1 |
| r+1 |
（Ⅲ）在④中，令r=
| 1 |
| 3 |
得
| 3 |
| 4 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
| 3 | 81 |
| 3 |
| 4 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
| 3 |
| 4 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
| 3 | 82 |
| 3 |
| 4 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
| 3 |
| 4 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
| 3 | 83 |
| 3 |
| 4 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
| 3 |
| 4 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
| 3 | 125 |
| 3 |
| 4 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
将以上各式相加，并整理得
| 3 |
| 4 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
| 3 |
| 4 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
代入数据计算，可得
| 3 |
| 4 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
| 3 |
| 4 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
由[S]的定义，得[S]=211．
点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性和求最值，以及学生的创新精神，是否会观察，会抽象概括，会用类比的方法得出其它结论，难度较大，注意利用上一问的结论．
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