Question

已知曲线C：x²+y²-2ax-2（a-1）y-1+2a=0．
（1）证明：不论a取何实数，曲线C必过定点；
（2）当a≠1时，若曲线C与直线y=2x-1相切，求a的值；
（3）对所有的a∈R且a≠1，是否存在直线l与曲线C总相切？如果存在，求出l的方程；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：先提取参数a，令a的系数为0，求解曲线的所过定点的坐标；对方程配方，得圆的方程，
利用直线与圆相切的条件d_{圆心到直线}=R求解（2）；
利用圆心轨迹的参数方程，可求圆心所在直线，由（1）曲线过定点，可求得定直线，再证明其符合条件即可．
或假设存在，设直线方程，利用待定系数法求解即可．

解答：解：（1）证明：曲线C的方程可变形为（x²+y²+2y-1）+（-2x-2y+2）a=0，
由

x2+y2+2y-1=0 -2x-2y+2=0

，…（2分）
解得

x=1 y=0

，点（1，0）满足C的方程，
故曲线C过定点（1，0）．…（4分）
（2）原方程配方得（x-a）²+（y-a+1）²=2（a-1）²；由于a≠1，所以2（a-1）²＞0，
所以C的方程表示圆心是（a，a-1），半径是

2

|a-1|的圆．…（6分）
由题意得圆心到直线距离d=

|a|

5

，…（8分）
∴

2

|a-1|=

|a|

5

，解得a=

10± 10

9

．…（10分）
（3）法一：由（2）知曲线C表示圆设圆心坐标为（x，y），则有

x=a y=a-1

，
消去a得y=x-1，故圆心必在直线y=x-1上．
又曲线C过定点（1，0），所以存在直线l与曲线C总相切，…（12分）
直线l过点（1，0）且与直线y=x-1垂直；
∴l方程为y=-（x-1）即y=-x+1．…（16分）
法二：假设存在直线l满足条件，显然l不垂直于x轴，设l：y=kx+b，
圆心到直线距离d=

|ka+b-a+1|

1+k2

，
∴

|ka+b-a+1|

1+k2

=

2

|a-1|对所有的a∈R且a≠1都成立，…（12分）
即（k+1）²a²-2（2k²+k+kb-b+1）a+2k²+2-（b+1）²=0恒成立
∴

(k+1)2=0 2k2+k+kb-b+1=0 2(k+1)2-(b+1)2=0

∴

k=-1 b=1

∴存在直线l：y=-（x-1）即y=-x+1与曲线C总相切．…（16分）

点评：本题考查曲线过定点问题和直线与圆的位置关系；利用曲线方程概念可证曲线过定点问题；直线与圆的位置关系是：相交（d_{圆心到直线＜}R），相切（d_{圆心到直线}=R），相离（d_{圆心到直线＞}R）；解决直线的存在性问题的一般思路：一是根据条件判断，求出已知直线，证明其符合条件；二是假设存在，设直线方程，利用待定系数法求出（或证明矛盾，不存在）．