题目内容

已知.
(Ⅰ)当时,判断的奇偶性,并说明理由;
(Ⅱ)当时,若,求的值;
(Ⅲ)若,且对任何不等式恒成立,求实数的取值范围.

(Ⅰ)既不是奇函数,也不是偶函数;(Ⅱ)
(Ⅲ)当时,的取值范围是;当时,的取值范围是;当时,的取值范围是.

解析试题分析:(Ⅰ)对函数奇偶性的判断,一定要结合函数特征先作大致判断,然后再根据奇函数偶函数的定义作严格的证明.当时,,从解析式可以看出它既不是奇函数,也不是偶函数.对既不是奇函数,也不是偶函数的函数,一般取两个特殊值说明.
(Ⅱ)当时,, 由,这是一个含有绝对值符号的不等式,对这种不等式,一般先分情况去绝对值符号.这又是一个含有指数式的不等式,对这种不等式,一般将指数式看作一个整体,先求出指数式的值,然后再利用指数式求出的值.
(Ⅲ)不等式恒成立的问题,一般有以下两种考虑,一是分离参数,二是直接求最值.在本题中,分离参数比较容易.分离参数时需要除以,故首先考虑的情况. 易得时,取任意实数,不等式恒成立.
,此时原不等式变为;即,这时应满足:,所以接下来就求的最大值和的最小值.在求这个最大值和最小值时,因数还有一个参数,所以又需要对进行讨论.
试题解析:(Ⅰ)当时,既不是奇函数也不是偶函数  
,∴ 
所以既不是奇函数,也不是偶函数           3分
(Ⅱ)当时,, 由  
  
解得 
所以           8分
(Ⅲ)当时,取任意实数,不等式恒成立,
故只需考虑,此时原不等式变为;即

又函数上单调递增,所以;
对于函数 
①当时,在单调递减,,又,
所以,此时的取值范围是  
②当,在上,,
时,,此时要使存在,
必须有    即,此时的取值范围是
综上,当时,的取值范围是;
时,

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