Question

【题目】已知a＞0，b＞0，且a2+b2=1，证明：

（Ⅰ）4a2+b2≥9a2b2；

（Ⅱ）（a3+b3）2＜1．

Answer 1

【答案】（1）见解析； （2）见解析.

【解析】

（Ⅰ）4a2+b2=（4a2+b2）（a2+b2），再利用基本不等式证明. （Ⅱ）a3＜a2，b3＜b2，a3+b3＜a2+b2，所以（a3+b3）2＜（a2+b2）2=1．

（Ⅰ）因为a2+b2=1，

所以4a2+b2=（4a2+b2）（a2+b2）=4a4+b4+5a2b2≥4a2b2+5a2b2=9a2b2，

当且仅当b2=2a2时，取得等号．

（Ⅱ）因为a＞0，b＞0，且a2+b2=1，

所以a，b∈（0，1），所以a3＜a2，b3＜b2，a3+b3＜a2+b2，

所以（a3+b3）2＜（a2+b2）2=1．