题目内容

(2013•汕头二模)已知抛物线和双曲线都经过点M(1,2),它们在x轴上有共同焦点,对称轴是坐标轴,抛物线的顶点为坐标原点.
(1)求抛物线和双曲线标准方程;
(2)已知动直线m过点P(3,0),交抛物线于A,B两点,记以线段AP为直径的圆为圆C,求证:存在垂直于x轴的直线l被圆C截得的弦长为定值,并求出直线l的方程.
分析:(1)设抛物线的方程为 y2=2px(p>0),把点M(1,2)代入求得p的值,即可求得抛物线的方程.对于双曲线,由焦点坐标求得c的值,由双曲线的定义求得a,从而求得b的值,从而求得双曲线的标准方程.
(2)由题意可得,AP的中点为C,设A(x1,y1),则C(
x1+3
2
y1
2
).设D、E是圆C上的两个点,且DE垂直于x轴,DE的中点为H,点D(x2,y2),则H(x2,y3),求得|DC|和|CH|、|DH|2,可得当x2=2时,|DH|2=2,故弦长为|DE|=2|DH|=2
2
 为定值,由此可得结论
解答:解:(1)设抛物线的方程为 y2=2px(p>0),把点M(1,2)代入求得p=2,
∴抛物线的方程为  y2=4x,焦点坐标为F1(1,0).
对于双曲线,一个焦点坐标为F1(1,0),则另一个焦点坐标为F2(-1,0),
故c=1,2a=||MF1|-|MF2||=2
2
-2,∴a=
2
-1,∴b2=c2-a2=2
2
-2.
故双曲线的标准方程为
x2
3-2
2
-
y2
2
2
-2
=1

(2)由题意可得,AP的中点为C,设A(x1,y1),则C(
x1+3
2
y1
2
).
设D、E是圆C上的两个点,且DE垂直于x轴,DE的中点为H,点D(x2,y2),则H(x2,y3),
|DC|=
1
2
|AP|=
1
2
(x1-3)2+y12
,|CH|=|
x1+3
2
-x2|=
1
2
|(x1-2x2)+3|,
|DH|2=|DC|2-|HC|2=
1
4
[(x1-3)2+y12]-
1
4
[x1-2x2)+3]2=(x2-2)x1-x22+3x2 
由x2的任意性可得,当x2=2时,|DH|2=-4+6=2,故弦长为|DE|=2|DH|=2
2
 为定值.
故存在垂直于x轴的直线l(即直线DE),倍圆截得的弦长为定值,直线l的方程为 x=2.
点评:本题主要考查用待定系数法求抛物线和双曲线的标准方程,直线和圆相交的性质,属于中档题.
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