Question

【题目】已知椭圆 的右焦点为F，设直线l：x=5与x轴的交点为E，过点F且斜率为k的直线l1与椭圆交于A，B两点，M为线段EF的中点．
（I）若直线l1的倾斜角为 ，求△ABM的面积S的值；
（Ⅱ）过点B作直线BN⊥l于点N，证明：A，M，N三点共线．

Answer 1

【答案】解：（I）由题意可知：右焦点F（1，0），E（5，0），M（3，0），
设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），
由直线l1的倾斜角为 ，则k=1，
直线l1的方程y=x﹣1，即x=y+1，
则 ，整理得：9x2+8﹣16=0．
则y1+y2=﹣ ，y1y2=﹣ ，
△ABM的面积S，S= 丨FM丨丨y1﹣y2丨=丨y1﹣y2丨= = ，
∴△ABM的面积S的值 ；
（Ⅱ）证明：设直线l1的方程为y=k（x﹣1），
则 ，整理得：（4+5k2）x2﹣10k2x+5k2﹣20=0．
则x1+x2= ，x1x2= ，
直线BN⊥l于点N，则N（5，y2），
由kAM= ，kMN= ，
而y2（3﹣x1）﹣2（﹣y1）=k（x2﹣1）（3﹣x1）+2k（x1﹣1）=﹣k[x1x2﹣3（x1+x2）+5]，
=﹣k（ ﹣3× +5），
=0，
∴kAM=kMN ，
∴A，M，N三点共线．
【解析】（I）由题意，直线l1的x=y+1，代入椭圆方程，由韦达定理，弦长公式即可求得△ABM的面积S的值；（Ⅱ）直线y=k（x﹣1），代入椭圆方程，由韦达定理，利用直线的斜率公式，即可求得kAM=kMN ， A，M，N三点共线．
【考点精析】通过灵活运用椭圆的标准方程，掌握椭圆标准方程焦点在x轴：，焦点在y轴：即可以解答此题．