题目内容
【题目】如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,∠ACB=90°,AC=BC=2,D,E分别为棱AB,BC的中点,M为棱AA1的中点.
(1)证明:A1B1⊥C1D;
(2)若AA1=4,求三棱锥A﹣MDE的体积.
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】
(1)通过证明AB⊥CD,AB⊥CC1,证明A1B1⊥平面CDC1,然后证明A1B1⊥C1D;
(2)求出底面△DCE的面积,求出对应的高,即点到底面DCE的距离,然后求解四面体M-CDE的体积,由三棱锥A﹣MDE的体积就是三棱锥M﹣CDE的体积得结论.
(1)证明:∵∠ACB=90°,AC=BC=2,
∴AB⊥CD,AB⊥CC1,CD∩CC1=C,
∴AB⊥平面CDC1,
∵A1B1∥AB,∴A1B1⊥平面CDC1,
∵C1D平面CDC1,
∴A1B1⊥C1D;
(2)解:三棱锥A﹣MDE的体积就是三棱锥M﹣CDE的体积,
AC=BC=2,D,E分别为棱AB,BC的中点,
M为棱AA1的中点.AA1=4,所以AM=2,AB⊥CD,
三棱锥A﹣MDE的体积:.