Question

【题目】如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PB⊥平面ABCD，AB⊥BC，AD∥BC，AD＝2BC＝2，AB＝BC＝PB，点E为棱PD的中点.

（1）求证：CE∥平面PAB；

（2）求证：AD⊥平面PAB；

（3）求二面角E﹣AC﹣D的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）

【解析】

（1）取PA中点F，连接EF，BF，因为E为PD中点，F为PA中点，证明四边形BCEF为平行四边形，得到CE∥BF，然后证明CE∥平面PAB.

（2）证明PB⊥AD，AD⊥AB，然后证明AD⊥平面PAB.

（3）以B为原点，如图建立空间直角坐标系B﹣xyz，求出平面ACD的一个法向量，平面ACE的一个法向量，结合二面角E﹣AC﹣D为锐角，通过空间向量的数量积求解二面角E﹣AC﹣D的余弦值即可.

证明：（1）取PA中点F，连接EF，BF，因为E为PD中点，F为PA中点，

所以EF∥AD，且

又因为BC∥AD，且

所以EF∥BC，且EF＝BC

所以四边形BCEF为平行四边形，

所以CE∥BF，

因为CE平面PAB，BF平面PAB

所以CE∥平面PAB.

（2）因为PB⊥平面ABCD，AD平面ABCD

所以PB⊥AD

又因为AB⊥BC，AD∥BC

所以AD⊥AB，

又AB∩PB＝B，AB、PB平面PAB

所以AD⊥平面PAB.

（3）因为PB⊥平面ABCD，AB、BC平面ABCD

所以PB⊥AB，PB⊥BC，又AB⊥BC，

以B为原点，如图建立空间直角坐标系B﹣xyz，

所以

已知平面ACD的一个法向量；

设平面ACE的法向量，

则，即，

令x＝1，则y＝1，z＝﹣1；

所以平面ACE的一个法向量为

所以

由图可知二面角E﹣AC﹣D为锐角，

所以二面角E﹣AC﹣D的余弦值为.