Question

【题目】已知定义域为R的偶函数f（x）满足对任意的x∈R，有f（x+2）=f（x）﹣f（1），且当x∈[2，3]时，f（x）=﹣（x﹣2）2+1．若函数y=f（x）﹣a（x﹣）在（0，+∞）上恰有三个零点，则实数a的取值范围是（　　）
A.（ ， 3）
B.（ ， ）
C.（3，12）
D.（ ， 12）

Answer 1

【答案】B
【解析】解：∵f（x+2）=f（x）﹣f（1），
且f（x）是定义域为R的偶函数，
令x=﹣1可得f（﹣1+2）=f（﹣1）﹣f（1），
又f（﹣1）=f（1），
∴f（1）=0 则有f（x+2）=f（x），
∴f（x）是最小正周期为2的偶函数．
当x∈[2，3]时，f（x）=﹣（x﹣2）2+1，
若x∈[0，1]，则x+2∈[2，3]，
则f（x）=f（x+2）=﹣（x+2﹣2）2+1=﹣x2+1，
即f（x）=﹣x2+1，x∈[0，1]，
若x∈[﹣1，0]，则﹣x∈[0，1]，
即f（﹣x）=﹣x2+1=f（x），
即f（x）=﹣x2+1，x∈[﹣1，0]，
综上f（x）=﹣x2+1，x∈[﹣1，1]，
由函数y=f（x）﹣a（x﹣）=0，
得函数f（x）=a（x﹣），
设y=a（x﹣），
作出函数f（x）和y=a（x﹣）的图象如图，
要使函数y=f（x）﹣a（x﹣）在（0，+∞）上恰有三个零点，
则a＞0，
当x∈[1，2]，则x﹣2∈[﹣1，0]，
则f（x）=f（x﹣2）=﹣（x﹣2）2+1，x∈[1，2]，
当x∈[3，4]，则x﹣2∈[1，2]，
则f（x）=f（x﹣2）=﹣（x﹣4）2+1，x∈[3，4]，
由﹣（x﹣2）2+1=a（x﹣）整理得x2+（a﹣4）x+3﹣a=0，
由判别式△=（a﹣4）2﹣4（3﹣a）=0，
整理得3a2﹣13a+12=0得a=3（由图象知不合适）或a= ，
由﹣（x﹣4）2+1=a（x﹣）整理得x2+（a﹣8）x+15﹣a=0，
由判别式△=（a﹣8）2﹣4（15﹣a）=0，
整理得3a2﹣37a+12=0得a=12（由图象知不合适）或a= ，
综上，要使函数y=f（x）﹣a（x﹣）在（0，+∞）上恰有三个零点，
则＜a＜ ，
故选：B