题目内容

【题目】设椭圆的焦点,过右焦点的直线 相交于两点,若的周长为短轴长的倍.

(1)求的离心率;

(2)设的斜率为,在上是否存在一点,使得?若存在,求出点的坐标; 若不存在,说明理由.

【答案】(1)(2)不存在

【解析】

试题分析:(1)求椭圆离心率,只需建立一个等量关系即可:因为的周长为,所以,注意短轴长为,即可得到(2)存在性问题,以算代证,有解就存在,无解就不存在. ,则,代入椭圆方程为化简得,再根据直线方程与椭圆方程联立方程组,利用韦达定理得,计算 ,则与矛盾,故不存在

试题解析:(1)的周长为,依题意知,即 .

(2)设椭圆方程为,直线的方程为,代入椭圆方程得

,则,设,则

,代入 ,

因为

,从而 式不成立. 故不存在点,使成立.

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