题目内容
【题目】已知函数 .
(1)求函数的单调区间;
(2)若函数 有两个零点
,证明
.
【答案】
(1)解: , 当
时,
;当
时,
,所以函数
在
上单调递减,在
上单调递增.
(2)解: ,不妨设
,又由(1)可知
,又函数
在
上单调递减,所以
等价于
,即
.又
,而
,所以
,设
,则
,当
时,
,而
,故当
时,
.所以而
恒成立,所以当
时,
,故
.
【解析】(1)根据题意首先求出原函数的导函数,借助导函数的性质求出原函数的极值点,并判断导函数的正负进而得到原函数的单调性。(2)由已知利用函数 f ( x ) 在 ( ∞ , 1 ) 上单调递减得出x 1 > 2 x 2 ,可转化为 0 = f ( x 1 ) < f ( 2 x 2 )求出 f ( 2 x 2 )的解析式,构造函数g ( x )再利用形式函数的导数,讨论导函数的正负进而得出g ( x )的最值,然后转化该式求解即可。
【考点精析】解答此题的关键在于理解利用导数研究函数的单调性的相关知识,掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系: 在某个区间内,(1)如果
,那么函数
在这个区间单调递增;(2)如果
,那么函数
在这个区间单调递减,以及对函数的最大(小)值与导数的理解,了解求函数
在
上的最大值与最小值的步骤:(1)求函数
在
内的极值;(2)将函数
的各极值与端点处的函数值
,
比较,其中最大的是一个最大值,最小的是最小值.
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