Question

【题目】在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，∠BAD=∠ADC=90°，DC=2AB=2AD，BC⊥PD，E，F分别是PB，BC的中点．
求证：
（1）PC∥平面DEF；
（2）平面PBC⊥平面PBD．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵E，F分别是PB，BC的中点，

∴PC∥EF，

又PC平面DEF，EF平面DEF，

∴PC∥平面DEF

（2）证明：取CD的中点M，连结BM，

则AB DM，又AD⊥AB，AB=AD，

∴四边形ABMD是正方形，

∴BM⊥CD，BM=CM=DM=1，BD= ，

∴BC= ，

∴BD2+BC2=CD2，

∴BC⊥BD，又BC⊥PD，BD∩PD=D，

∴BC⊥平面PBD，

又BC平面PBC，

∴平面PBC⊥平面PBD．

【解析】（1）由中位线定理可得PC∥EF，故而PC∥平面DEF；（2）由直角梯形可得BC⊥BD，结合BC⊥PD得出BC⊥平面PBD，于是平面PBC⊥平面PBD．
【考点精析】解答此题的关键在于理解直线与平面平行的判定的相关知识，掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行，以及对平面与平面垂直的判定的理解，了解一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．