题目内容
12．设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a3=12，S12＞0，S13＜0．（1）求数列{an}的公差d的取值范围；
（2）求数列{an}的前n项和为Sn取得最大值时n的值．
分析 （1）由a3=12可得a1=12-2d，由求和公式代入S12＞0和S13＜0可得d的不等式组，解不等式组可得；
（2）由等差数列的性质和求和公式可得a6＞0，a7＜0，可得数列{an}的前6项均为正数，从第7项开始为负数，可得结论．
解答 解：（1）由a3=12可得a1+2d=12，∴a1=12-2d，
又∵S12=12a1+$\frac{12×11}{2}$d=12（12-2d）+$\frac{12×11}{2}$d＞0，∴d＞-$\frac{24}{7}$
同理由S13=13a1+$\frac{13×12}{2}$d=13（12-2d）+$\frac{13×12}{2}$d＜0，∴d＜-3
∴数列{an}的公差d的取值范围为（$-\frac{24}{7}$，-3）；
（2）由题意可得S12=$\frac{12（{a}_{1}+{a}_{12}）}{2}$=6（a1+a12）=6（a6+a7）＞0，
S13=$\frac{13（{a}_{1}+{a}_{13}）}{2}$=$\frac{13×2{a}_{7}}{2}$=13a7＜0，
∴a6+a7＞0，a7＜0，∴a6＞0，a7＜0，
∴数列{an}的前6项均为正数，从第7项开始为负数，
∴数列{an}的前n项和为Sn取得最大值时n的值为6
点评 本题考查等差数列的性质和求和公式，涉及前n项和的最值，属中档题．
练习册系列答案
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2．
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已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）| A． | f（x）的图象关于直线$x=-\frac{2π}{3}$对称 | |
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