Question

（2012•上饶一模）围棋对局中，执黑棋者先下，执白棋者后下．一次围棋比赛中，甲乙进入最后的冠军争夺战，决赛规则是三局两胜制（即三局比赛中，谁先赢得两局，就获得冠军），假定每局比赛没有平局，且每局比赛由裁判扔硬币决定谁执黑棋．根据甲乙双方以往对局记录，甲执黑棋对乙的胜率为

7

10

，甲执白棋对乙的胜率为

1

2

．
（1）求乙在一局比赛中获胜的概率；
（2）若冠军获得奖金10万元，亚军获得奖金5万元，且每局比赛胜方获得奖金1万元，负方获得奖金0.5万元，记甲在决赛中获得奖金数为X万元．求X的分布列和期望EX．

Answer 1

分析：（1）根据甲执黑棋对乙的胜率为

7

10

，甲执白棋对乙的胜率为

1

2

，利用互斥事件的概率公式，可求乙在一局比赛中获胜的概率；
（2）X取值为6，7，12或12.5，求出甲在一局比赛中获胜概率，从而可求相应取值的概率，即可得到分布列与数学期望．

解答：解：（1）∵甲执黑棋对乙的胜率为

7

10

，甲执白棋对乙的胜率为

1

2

．
∴乙在一局比赛中获胜的概率为P=

1

2

•

3

10

+

1

2

•

1

2

=

2

5

…（5分）
（2）X取值为6，7，12或12.5，甲在一局比赛中获胜概率为

3

5

，则
P(X=6)=(

2

5

)2=

4

25

…（6分）P(X=7)=

C

1 2

(

2

5

)2•

3

5

=

24

125

…（7分）
P(X=12)=(

3

5

)2=

9

25

…（8分）P(X=12.5)=

C

1 2

(

3

5

)2•

2

5

=

36

125

…（9分）
∴X的分布列为

X	6	7	12	12.5
P	4 25	24 125	9 25	36 125

…．．（10分）
∴EX=6•

4

25

+7•

24

125

+12•

9

25

+12.5•

36

125

=

1278

125

=10.224…．．（12分）

点评：本题考查互斥事件的概率公式，考查离散型随机变量的分布列与数学期望，确定变量的取值，求出相应的概率是关键．