题目内容
（2012•上饶一模）围棋对局中，执黑棋者先下，执白棋者后下．一次围棋比赛中，甲乙进入最后的冠军争夺战，决赛规则是三局两胜制（即三局比赛中，谁先赢得两局，就获得冠军），假定每局比赛没有平局，且每局比赛由裁判扔硬币决定谁执黑棋．根据甲乙双方以往对局记录，甲执黑棋对乙的胜率为
，甲执白棋对乙的胜率为
．
（1）求乙在一局比赛中获胜的概率；
（2）若冠军获得奖金10万元，亚军获得奖金5万元，且每局比赛胜方获得奖金1万元，负方获得奖金0.5万元，记甲在决赛中获得奖金数为X万元．求X的分布列和期望EX．
| 7 |
| 10 |
| 1 |
| 2 |
（1）求乙在一局比赛中获胜的概率；
（2）若冠军获得奖金10万元，亚军获得奖金5万元，且每局比赛胜方获得奖金1万元，负方获得奖金0.5万元，记甲在决赛中获得奖金数为X万元．求X的分布列和期望EX．
分析：（1）根据甲执黑棋对乙的胜率为
，甲执白棋对乙的胜率为
，利用互斥事件的概率公式，可求乙在一局比赛中获胜的概率；
（2）X取值为6，7，12或12.5，求出甲在一局比赛中获胜概率，从而可求相应取值的概率，即可得到分布列与数学期望．
| 7 |
| 10 |
| 1 |
| 2 |
（2）X取值为6，7，12或12.5，求出甲在一局比赛中获胜概率，从而可求相应取值的概率，即可得到分布列与数学期望．
解答：解：（1）∵甲执黑棋对乙的胜率为
，甲执白棋对乙的胜率为
．
∴乙在一局比赛中获胜的概率为P=
•
+
•
=
…（5分）
（2）X取值为6，7，12或12.5，甲在一局比赛中获胜概率为
，则
P(X=6)=(
)2=
…（6分）P(X=7)=
(
)2•
=
…（7分）
P(X=12)=(
)2=
…（8分）P(X=12.5)=
(
)2•
=
…（9分）
∴X的分布列为
…．．（10分）
∴EX=6•
+7•
+12•
+12.5•
=
=10.224…．．（12分）
| 7 |
| 10 |
| 1 |
| 2 |
∴乙在一局比赛中获胜的概率为P=
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 10 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 2 |
| 5 |
（2）X取值为6，7，12或12.5，甲在一局比赛中获胜概率为
| 3 |
| 5 |
P(X=6)=(
| 2 |
| 5 |
| 4 |
| 25 |
| C | 1 2 |
| 2 |
| 5 |
| 3 |
| 5 |
| 24 |
| 125 |
P(X=12)=(
| 3 |
| 5 |
| 9 |
| 25 |
| C | 1 2 |
| 3 |
| 5 |
| 2 |
| 5 |
| 36 |
| 125 |
∴X的分布列为
| X | 6 | 7 | 12 | 12.5 | ||||||||
| P |
|
|
|
|
∴EX=6•
| 4 |
| 25 |
| 24 |
| 125 |
| 9 |
| 25 |
| 36 |
| 125 |
| 1278 |
| 125 |
点评：本题考查互斥事件的概率公式，考查离散型随机变量的分布列与数学期望，确定变量的取值，求出相应的概率是关键．
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