题目内容

(2012•上饶一模)围棋对局中,执黑棋者先下,执白棋者后下.一次围棋比赛中,甲乙进入最后的冠军争夺战,决赛规则是三局两胜制(即三局比赛中,谁先赢得两局,就获得冠军),假定每局比赛没有平局,且每局比赛由裁判扔硬币决定谁执黑棋.根据甲乙双方以往对局记录,甲执黑棋对乙的胜率为
7
10
,甲执白棋对乙的胜率为
1
2

(1)求乙在一局比赛中获胜的概率;
(2)若冠军获得奖金10万元,亚军获得奖金5万元,且每局比赛胜方获得奖金1万元,负方获得奖金0.5万元,记甲在决赛中获得奖金数为X万元.求X的分布列和期望EX.
分析:(1)根据甲执黑棋对乙的胜率为
7
10
,甲执白棋对乙的胜率为
1
2
,利用互斥事件的概率公式,可求乙在一局比赛中获胜的概率;
(2)X取值为6,7,12或12.5,求出甲在一局比赛中获胜概率,从而可求相应取值的概率,即可得到分布列与数学期望.
解答:解:(1)∵甲执黑棋对乙的胜率为
7
10
,甲执白棋对乙的胜率为
1
2

∴乙在一局比赛中获胜的概率为P=
1
2
3
10
+
1
2
1
2
=
2
5
…(5分)
(2)X取值为6,7,12或12.5,甲在一局比赛中获胜概率为
3
5
,则
P(X=6)=(
2
5
)2=
4
25
…(6分)P(X=7)=
C
1
2
(
2
5
)2
3
5
=
24
125
…(7分)
P(X=12)=(
3
5
)2=
9
25
…(8分)P(X=12.5)=
C
1
2
(
3
5
)2
2
5
=
36
125
…(9分)
∴X的分布列为
    X 6 7 12 12.5
    P  
4
25
 
24
125
 
9
25
 
36
125
…..(10分)
EX=6•
4
25
+7•
24
125
+12•
9
25
+12.5•
36
125
=
1278
125
=10.224
…..(12分)
点评:本题考查互斥事件的概率公式,考查离散型随机变量的分布列与数学期望,确定变量的取值,求出相应的概率是关键.
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