题目内容
17.设P为平行四边形ABCD所在平面内一点,则①$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$=$\overrightarrow{PC}$+$\overrightarrow{PD}$;$②\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PC}$=$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PD}$;③$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PD}$=$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$中成立的序号为②.分析 由题意画出图象,判断出点M是对角线的中点,再由向量的平行四边形法则,逐一判断各个结论是否成立,即可得到答案.
解答 解:由平行四边形的性质可得:点M是对角线的中点,
∵$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$=2$\overrightarrow{PM}$+$\overrightarrow{DA}$,$\overrightarrow{PC}$+$\overrightarrow{PD}$=2$\overrightarrow{PM}$-$\overrightarrow{DA}$;
∴$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$=$\overrightarrow{PC}$+$\overrightarrow{PD}$不成立,
∵$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PC}$=2$\overrightarrow{PM}$,$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PD}$=2$\overrightarrow{PM}$,
∴$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PC}$=$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PD}$成立,
∵$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PD}$=2$\overrightarrow{PM}$-$\overrightarrow{AB}$,$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$=2$\overrightarrow{PM}$+$\overrightarrow{AB}$,
∴$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PD}$=$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$不成立,
故答案为:②.
点评 本题以命题的真假判断和应用为载体,考查了向量加法法运算及其几何意义,难度中档.
A. | 4π | B. | 16π | C. | $\frac{32π}{3}$ | D. | $\frac{4π}{3}$ |
A. | 12对 | B. | 24对 | C. | 36对 | D. | 48对 |