Question

6．已知函数f（x）=（1+$\frac{1}{tanx}$）sin²x+msin（x+$\frac{π}{4}$）sin（x-$\frac{π}{4}$）．
（1）当m=0时，若f（x）=$\frac{1}{2}$，求sin4x；
（2）当tanα=2时，f（α）=$\frac{3}{5}$，求m的值．

Answer 1

分析 利用同角三角函数的基本关系式与诱导公式化简f（x）=$\frac{1}{2}sin2x-\frac{1}{2}（m+1）cos2x+\frac{1}{2}$．
（1）当m=0时，由f（x）=$\frac{1}{2}$，得tan2x=1，然后利用万能公式求sin4x；
（2）由tanα=2，且f（α）=$\frac{3}{5}$，得$\frac{1}{2}sin2α-\frac{1}{2}（m+1）cos2α+\frac{1}{2}=\frac{3}{5}$，由此求得m值．

解答 解：f（x）=（1+$\frac{1}{tanx}$）sin²x+msin（x+$\frac{π}{4}$）sin（x-$\frac{π}{4}$）
=$（1+\frac{cosx}{sinx}）si{n}^{2}x-msin（x+\frac{π}{4}）sin（\frac{π}{4}-x）$
=（sinx+cosx）sinx-msin（x+$\frac{π}{4}$）cos（$\frac{π}{4}+x$）
=$si{n}^{2}x+sinxcosx-\frac{1}{2}msin（\frac{π}{2}+2x）$
=$\frac{1-cos2x}{2}+\frac{1}{2}sin2x-\frac{1}{2}mcos2x$
=$\frac{1}{2}sin2x-\frac{1}{2}（m+1）cos2x+\frac{1}{2}$．
（1）当m=0时，f（x）=$\frac{1}{2}（sin2x-cos2x）+\frac{1}{2}$，由f（x）=$\frac{1}{2}$，得
sin2x=cos2x，即tan2x=1，
∴sin4x=$\frac{2tan2x}{1+ta{n}^{2}2x}=\frac{2}{1+1}=1$；
（2）当tanα=2时，由f（α）=$\frac{3}{5}$，得
$\frac{1}{2}sin2α-\frac{1}{2}（m+1）cos2α+\frac{1}{2}=\frac{3}{5}$，即
$\frac{1}{2}•\frac{2×2}{1+4}-\frac{1}{2}（m+1）•\frac{1-4}{1+4}+\frac{1}{2}=\frac{3}{5}$，解得：m=-2．

点评 本题考查三角函数中恒等变换应用，考查了三角函数的化简与求值，考查计算能力，是中档题．