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精英家教网如图,已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长是2,D是侧棱CC1的中点,平面ABD和平面A1B1C的交线为MN.
(Ⅰ)试证明AB∥MN;
(Ⅱ)若直线AD与侧面BB1C1C所成的角为45°,试求二面角A-BD-C的大小.
分析:(1)要证线线平行,可先证线面平行,再根据线面平行的性质,证明线线平行;
(2)求二面角的大小,一般先作出二面角的平面角,再利用解三角形的办法解答.
解答:证明:(Ⅰ)由题意AB∥A1B1
又A1B1?平面CA1B1,AB∉平面CCA1B1,∴AB∥平面CA1B1
又AB?平面DAB,平面DAB∩平面CA1B1=MN,∴AB∥MN

精英家教网(Ⅱ)取BC中点E,连AE,过E作EF⊥BD于F,连AF.
∵△ABC是正三角形,∴AE⊥BC.
又底面ABC⊥侧面BB1C1C,且交线为BC
∴AE⊥侧面BB1C1C
又EF⊥BD,AF⊥BD
∴∠AFE为二面角A-BD-C的平面角
连ED,则直线AD与侧面BB1C1C所成的角为∠ADE=45°.
设正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长为x.则在Rt△AED中,
tan45°=
AE
ED
=
3
1+
x2
4
解得x=2
2

此正三棱柱的侧棱长为2
2

在Rt△BEF中,EF=BEsin∠EBF,又BE=1,sin∠EBF=
CD
BD
=
3
3

EF=
3
3
.又AE=
3

∴在Rt△AEF中,tan∠AFE=
AE
EF
=3

故二面角A-BD-C的大小为arctan3
点评:(1)对于已知条件中出现了(或容易证明)有关的面面平行的问题,往往就要紧紧围绕着面面平行的性质,从而得到线线(或线面)平行,从而将问题解决.
(2)求二面角的大小,一般先作出二面角的平面角.此题是利用二面角的平面角的定义作出∠AFE为二面角A-BD-C的平面角,通过解∠AFE所在的三角形求得∠AFE.其解题过程为:作∠AFE→证∠AFE是二面角的平面角→计算∠AFE,简记为“作、证、算”.
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