题目内容
已知抛物线的焦点为椭圆
的右焦点,且椭圆的长轴长为4,M、N是椭圆上的的动点.
(1)求椭圆标准方程;
(2)设动点满足:
,直线
与
的斜率之积为
,证明:存在定点
使
得为定值,并求出
的坐标;
(3)若在第一象限,且点
关于原点对称,
垂直于
轴于点
,连接
并延长交椭圆于点
,记直线
的斜率分别为
,证明:
.
(1);(2)存在
使得
;(3)证明过程详见试题解析.
解析试题分析:(1)由双曲线的焦点与椭圆
的焦点重合求出椭圆中的
,再由
,求出所求椭圆方程为
;(2)先设
,由
,结合椭圆的标准方程可以得到
使得
为定值;(3)要证明
就是要考虑
,详见解析.
试题解析:(1)由题设可知:因为抛物线的焦点为
,
所以椭圆中的又由椭圆的长轴为4得
故
故椭圆的标准方程为:
(2)设,
由可得:
由直线OM与ON的斜率之积为可得:
,即
由①②可得:
M、N是椭圆上的点,故
故,即
由椭圆定义可知存在两个定点,
使得动点P到两定点距离和为定值;
(3)设,由题设可知
,
由题设可知斜率存在且满足
.
将③代入④可得:⑤
点在椭圆
,
故
考点:直线与圆锥曲线.
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