题目内容

13.已知直三棱柱底面各边的比为17:10:9,侧棱长为16cm,全面积为1440cm2,求底面各边之长.(提示:设△ABC的三边长分别为a,b,c,记p=$\frac{1}{2}$(a+b+c),则△ABC的面积S△ABC=$\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$.

分析 设底面三边长分别为17x cm、10x cm、9x cm,由余弦定理求出长为17x的边所对的三角形内角的余弦值,从而求出直三棱柱的全面积为576x+72x2=1440,由此能求出底面各边之长.

解答 解:设底面三边长分别为17x cm、10x cm、9x cm,
S=(17x+10x+9x)•16=576x.
设长为17x的边所对的三角形内角为α,
则cosα=$\frac{(10x)^{2}+(9x)^{2}-(17x)^{2}}{2×10x×9x}$=-$\frac{3}{5}$,
∴sinα=$\sqrt{1-(-\frac{3}{5})^{2}}$=$\frac{4}{5}$.
∴S=$\frac{1}{2}$•10x•9x•$\frac{4}{5}$=36x2
∴576x+72x2=1440,解得x=2.
∴三边长分别为34 cm、20 cm、18 cm.

点评 本题考查直三棱柱底面各边长的求法,是中档题,解题时要注意余弦定理的合理运用.

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